Parámetros de una distribución bidimensional

En una distribución bidimensional de la que se tienen los datos apareados \((x_i,y_i)\) con frecuencias \(f_i\), vamos a considerar los parámetros que se exponen a continuación.

Centro de gravedad \((\overline x,\overline y)\):

\(\overline x=\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i \cdot f_i} N \hspace{2em} \hspace{2em} \overline y=\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k y_i \cdot f_i} N\)

siendo \(\overline x\) e \(\overline y\) las medias marginales.

Varianzas y desviaciones típicas marginales:

\(\sigma_x^2=\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i^2 \cdot f_i} N-\overline x^2\hspace{2em} \hspace{2em}  \sigma_y^2=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k y_i^2 \cdot f_i} N-\overline{y}^2\)

\(\sigma_x=\sqrt{\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i^2 \cdot f_i} N-\overline x^2}\hspace{2em} \hspace{2em}  \sigma_y=\sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k y_i^2 \cdot f_i} N-\overline{y}^2}\)

Covarianza:

\(\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k (x_i-\overline x)(y_i-\overline y)f_i}{N}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i y_i f_i}{N}-\overline x \overline y\)

La covarianza da información sobre la variación conjunta de las variables \(X\) e \(Y\).

• Una covarianza positiva indica que valores altos (bajos) de una de las variables suelen ir asociados a valores altos (bajos) de la otra.
• Una covarianza negativa indica que valores altos (bajos) de una de las variables suelen ir asociados a valores bajos (altos) de la otra.
• Una covarianza próxima a cero indica que no hay asociación entre los signos de las desviaciones con respecto a las medias de las variables.

Coeficiente de correlación de Pearson:

\(r=\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\)

El coeficiente de correlación de Pearson presenta las siguientes características:

• Es un parámetro adimensional.
• Toma siempre valores comprendidos entre \(-1\) y \(1\).

El significado de este parámetro es el mismo que el de la covarianza, ya que se trata de una covarianza normalizada. Concretamente, se tiene lo siguiente:

• Si \(|r|=1\), la correlación es perfecta y existe una relación lineal entre las variables.
• Si \(|r|\approx 1\), la correlación es fuerte (la nube de puntos se aproxima a una recta).
• Si \(|r|\approx 0\), la correlación es débil.
• El signo de \(r\) determina si la correlación es positiva o negativa.

El siguiente applet de GeoGebra ilustra lo que se acaba de exponer sobre la covarianza y el coeficiente de correlación en el caso de una distribución bidimensional de cuatro datos.

Autoría: JAL

Observación:

Para el cálculo de los parámetros anteriores, podemos ayudarnos de una tabla de entrada simple, completándola de la siguiente manera:

\(\ x_i \ \)	\(\ y_i \ \)	\(f_i\)	\(x_i\cdot f_i\)	\(y_i\cdot f_i\)	\(x_i^2\cdot f_i\)	\(y_i^2\cdot f_i\)	\(x_iy_i\cdot f_i\)
\(x_1\)	\(y_1\)	\(f_1\)	\(x_1\cdot f_1\)	\(y_1\cdot f_1\)	\(x_1^2\cdot f_1\)	\(y_1^2\cdot f_1\)	\(x_1y_1\cdot f_1\)
\(x_2\)	\(y_2\)	\(f_2\)	\(x_2\cdot f_2\)	\(y_2\cdot f_2\)	\(x_2^2\cdot f_2\)	\(y_2^2\cdot f_2\)	\(x_2y_2\cdot f_2\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_k\)	\(y_k\)	\(f_k\)	\(x_k\cdot f_k\)	\(y_k\cdot f_k\)	\(x_k^2\cdot f_k\)	\(y_k^2\cdot f_k\)	\(x_ky_k\cdot f_k\)
		\(\sum f_i=N\)	\(\sum x_i\cdot f_i\)	\(\sum y_i\cdot f_i\)	\(\sum x_i^2\cdot f_i\)	\(\sum y_i^2\cdot f_i\)	\(\sum x_iy_i\cdot f_i\)

EJEMPLO

Una prueba escrita consta de dos partes: una parte de ejercicios y una parte de problemas. Ambas partes se valoran con una puntuación entre 0 y 5 puntos. En la siguiente tabla se recogen los resultados obtenidos por un grupo de estudiantes:

\(X\setminus Y\)	\(\ 0 \ \)	\(\ 1 \ \)	\(\ 2 \ \)	\(\ 3 \ \)	\(\ 4 \ \)	\(\ 5 \ \)
\(0\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(3\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(0\)	\(0\)
\(4\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)
\(5\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(3\)	\(2\)

donde \(X\) representa la variable correspondiente a la calificación en la parte de ejercicios e \(Y\), lo correspondiente a la parte de problemas.

Calcula los parámetros \(\overline x\), \(\overline y\), \(\sigma_x\), \(\sigma_y\), \(\sigma_{xy}\) y \(r\).