Parámetros de una distribución bidimensional

En una distribución bidimensional de la que se tienen los datos apareados \((x_i,y_i)\) con frecuencias \(f_i\), vamos a considerar los parámetros que se exponen a continuación.

Centro de gravedad \((\overline x,\overline y)\):

\(\overline x=\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i \cdot f_i} N \hspace{2em} \hspace{2em} \overline y=\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k y_i \cdot f_i} N\)

siendo \(\overline x\) e \(\overline y\) las medias marginales.

Varianzas y desviaciones típicas marginales:

\(\sigma_x^2=\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i^2 \cdot f_i} N-\overline x^2\hspace{2em} \hspace{2em}  \sigma_y^2=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k y_i^2 \cdot f_i} N-\overline{y}^2\)

\(\sigma_x=\sqrt{\displaystyle\frac {\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i^2 \cdot f_i} N-\overline x^2}\hspace{2em} \hspace{2em}  \sigma_y=\sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k y_i^2 \cdot f_i} N-\overline{y}^2}\)

Covarianza:

\(\sigma_{xy}=\displaystyle\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k (x_i-\overline x)(y_i-\overline y)f_i}{N}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i y_i f_i}{N}-\overline x \overline y\)

La covarianza da información sobre la variación conjunta de las variables \(X\) e \(Y\).

• Una covarianza positiva indica que valores altos (bajos) de una de las variables suelen ir asociados a valores altos (bajos) de la otra.
• Una covarianza negativa indica que valores altos (bajos) de una de las variables suelen ir asociados a valores bajos (altos) de la otra.
• Una covarianza próxima a cero indica que no hay asociación entre los signos de las desviaciones con respecto a las medias de las variables.

Coeficiente de correlación de Pearson:

\(r=\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\)

El coeficiente de correlación de Pearson presenta las siguientes características:

• Es un parámetro adimensional.
• Toma siempre valores comprendidos entre \(-1\) y \(1\).

El significado de este parámetro es el mismo que el de la covarianza, ya que se trata de una covarianza normalizada. Concretamente, se tiene lo siguiente:

• Si \(|r|=1\), la correlación es perfecta y existe una relación lineal entre las variables.
• Si \(|r|\approx 1\), la correlación es fuerte (la nube de puntos se aproxima a una recta).
• Si \(|r|\approx 0\), la correlación es débil.
• El signo de \(r\) determina si la correlación es positiva o negativa.

El siguiente applet de GeoGebra ilustra lo que se acaba de exponer sobre la covarianza y el coeficiente de correlación en el caso de una distribución bidimensional de cuatro datos.

Autoría: JAL

Observaciones:

1) Para el cálculo de los parámetros anteriores, podemos ayudarnos de la tabla de entrada simple, completándola de la siguiente manera:

\(\ x_i \ \)	\(\ y_i \ \)	\(f_i\)	\(x_i\cdot f_i\)	\(y_i\cdot f_i\)	\(x_i^2\cdot f_i\)	\(y_i^2\cdot f_i\)	\(x_iy_i\cdot f_i\)
\(x_1\)	\(y_1\)	\(f_1\)	\(x_1\cdot f_1\)	\(y_1\cdot f_1\)	\(x_1^2\cdot f_1\)	\(y_1^2\cdot f_1\)	\(x_1y_1\cdot f_1\)
\(x_2\)	\(y_2\)	\(f_2\)	\(x_2\cdot f_2\)	\(y_2\cdot f_2\)	\(x_2^2\cdot f_2\)	\(y_2^2\cdot f_2\)	\(x_2y_2\cdot f_2\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(x_k\)	\(y_k\)	\(f_k\)	\(x_k\cdot f_k\)	\(y_k\cdot f_k\)	\(x_k^2\cdot f_k\)	\(y_k^2\cdot f_k\)	\(x_ky_k\cdot f_k\)
		\(\sum f_i=N\)	\(\sum x_i\cdot f_i\)	\(\sum y_i\cdot f_i\)	\(\sum x_i^2\cdot f_i\)	\(\sum y_i^2\cdot f_i\)	\(\sum x_iy_i\cdot f_i\)

2) Si los datos se han proporcionado a través de una tabla de doble entrada, los parámetros \(\overline x\), \(\overline y\), \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) pueden calcularse con la ayuda de las tablas de frecuencia marginales. Por otro lado, los parámetros \(\sigma_{xy}\) y \(r\) pueden determinarse directamente a partir de la tabla de doble entrada.

Otra posibilidad sería convertir la tabla de doble entrada en una tabla de entrada simple y proceder como se ha indicado en la observación 1). No obstante, si la tabla de entrada simple es demasiado extensa es preferible descartar esta alternativa.

EJEMPLO

Una prueba escrita consta de dos partes: una parte de ejercicios y una parte de problemas. Ambas partes se valoran con una puntuación entre 0 y 5 puntos. En la siguiente tabla se recogen los resultados obtenidos por un grupo de estudiantes:

\(X\setminus Y\)	\(\ 0 \ \)	\(\ 1 \ \)	\(\ 2 \ \)	\(\ 3 \ \)	\(\ 4 \ \)	\(\ 5 \ \)
\(0\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(2\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(3\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(0\)	\(0\)
\(4\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)
\(5\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(3\)	\(2\)

donde \(X\) representa la variable correspondiente a la calificación en la parte de ejercicios e \(Y\), lo correspondiente a la parte de problemas.

Calcula los parámetros \(\overline x\), \(\overline y\), \(\sigma_x\), \(\sigma_y\), \(\sigma_{xy}\) y \(r\).