Las rectas de regresión son rectas que se ajustan en cierto sentido a la nube de puntos (mínimos cuadrados) y con las que se pretende estimar el valor de una variable a partir de un valor de la otra variable.
Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\):
\(r_{Y/X}:\hspace{1em} y=\overline y+\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x-\overline x)\)
Recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\):
\(r_{X/Y}:\hspace{1em} x=\overline x+\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y-\overline y)\)
Posiciones de las rectas de regresión
Dependiendo del valor del coeficiente de correlación \(r=\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}\), pueden darse las siguientes situaciones:
1) Si \(r=0\) (ausencia de correlación), entonces
\(r_{Y/X}: \hspace{1em} y=\overline y\hspace{2em}\) (recta horizontal)
\(r_{X/Y}: \hspace{1em} x=\overline x\hspace{2em}\) (recta vertical)
Por tanto, las rectas de regresión forman un ángulo de \(90^\mbox{o}\).
2) Si \(r\approx 0\) (poca correlación), las rectas forman un ángulo próximo a \(90^\mbox{o}\) y están muy separadas.
3) Si \(|r|=1\), las rectas son coincidentes y hay una relación funcional entre las variables.
- Si \(r=1\) hay una correlación positiva perfecta.
- Si \(r=-1\) hay una correlación negativa perfecta.
4) Si \(r\approx 1\) (correlación fuerte), las rectas forman un ángulo pequeño.
Estimaciones
- Estimación del valor de \(Y\) para \(X=x_0\): calcular \(y\) en la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) para \(x=x_0\).
- Estimación del valor de \(X\) para \(Y=y_0\): calcular \(x\) en la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\) para \(y=y_0\).
Observaciones
1) La estimación será mejor cuanto más próximo a 1 sea \(|r|\).
- Si \(r=1\) la relación entre \(X\) e \(Y\) es funcional y la estimación es exacta.
- Si \(r=0\) la estimación no es buena.
2) Si la estimación se realiza para valores alejados de los datos, ésta pierde fiabilidad.
EJEMPLO
La siguiente tabla muestra las calificaciones \(X\) e \(Y\) obtenidas por algunos estudiantes al realizar una prueba de lectura comprensiva y una prueba de ortografía, respectivamente:
| Lectura comprensiva (\(X\)) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| Ortografía (\(Y\)) | \(5\) | \(5\) | \(6\) | \(5\) | \(7\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(9\) |
a) Representa el diagrama de dispersión.
b) Calcula la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
c) Calcula la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\).
d) ¿Qué tipo de correlación existe entre las variables?
e) Estima la calificación de un estudiante en la prueba de ortografía sabiendo que ha obtenido \(5.5\) en la prueba de lectura.
f) Estima la calificación de un estudiante en la prueba de lectura sabiendo que ha obtenido \(8.5\) en la prueba de ortografía.
Solución
a) Representa el diagrama de dispersión
b) Calcula la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(y_i^2\) | \(x_iy_i\) |
| \(3\) | \(5\) | \(9\) | \(25\) | \(15\) |
| \(4\) | \(5\) | \(16\) | \(25\) | \(20\) |
| \(5\) | \(6\) | \(25\) | \(36\) | \(30\) |
| \(5\) | \(5\) | \(25\) | \(25\) | \(25\) |
| \(6\) | \(7\) | \(36\) | \(49\) | \(42\) |
| \(7\) | \(7\) | \(49\) | \(49\) | \(49\) |
| \(8\) | \(8\) | \(64\) | \(64\) | \(64\) |
| \(8\) | \(9\) | \(64\) | \(81\) | \(72\) |
| \(9\) | \(10\) | \(81\) | \(100\) | \(90\) |
| \(10\) | \(9\) | \(100\) | \(81\) | \(90\) |
| \(65\) | \(71\) | \(469\) | \(535\) | \(497\) |
\(N=10\) (número total de datos)
\(\overline x=\displaystyle \frac {\sum x_i}{N}=\frac{65}{10}=6.5\)
\(\overline y=\displaystyle \frac {\sum y_i}{N}=\frac{71}{10}=7.1\)
\(\sigma_x^2=\displaystyle \frac {\sum x_i^2}{N}-\overline x^2=\frac{469}{10}-6.5^2=4.65\)
\(\sigma_y^2=\displaystyle \frac {\sum y_i^2}{N}-\overline y^2=\frac{535}{10}-7.1^2=3.09\)
\(\sigma_{xy}=\displaystyle \frac {\sum x_iy_i}{N}-\overline x\cdot \overline y=\frac{497}{10}-6.5\cdot 7.1=3.55\)
Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\):
\(r_{Y/X}:\hspace{1em} y=\overline y+\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x-\overline x)\)
\(y=7.1+\displaystyle\frac{3.55}{4.65}(x-6.5)\)
\(y=0.763x+2.138\)
c) Calcula la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\).
Recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\):
\(r_{X/Y}:\hspace{1em} x=\overline x+\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(x-\overline y)\)
\(x=6.5+\displaystyle\frac{3.55}{3.09}(y-7.1)\)
\(x=1.149y-1.657\)
d) ¿Qué tipo de correlación existe entre las variables?
Coeficiente de correlación:
\(r=\displaystyle \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}=\frac{3.55}{\sqrt{4.65}\sqrt{3.09}}=0.937\)
Hay una correlación positiva fuerte entre las variables \(X\) e \(Y\).
e) Estima la calificación de un estudiante en la prueba de ortografía sabiendo que ha obtenido \(5.5\) en la prueba de lectura.
\(x=5.5 \longrightarrow \hat y(5.5)=0.763\cdot 5.5+2.138=6.33\)
La estimación de la calificación en la prueba de ortografía es 6.33.
f) Estima la calificación de un estudiante en la prueba de lectura sabiendo que ha obtenido \(8.5\) en la prueba de ortografía.
\(y=8.5 \longrightarrow \hat x(8.5)=1.149\cdot 8.5-1.657=8.11\)
La estimación de la calificación en la prueba de lectura es 8.11.