Tasa de variación media
DEFINICIÓN
Se define la tasa de variación media de una función \(f\) en un intervalo \([a,b]\) como:
\(\hspace{2em} \mbox{TVM}[a,b]=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Observaciones
1) La tasa de variación media indica la variación de la función por cada unidad de la variable independiente. Por tanto, es una medida del crecimiento de la función.
2) Geométricamente, la tasa de variación media coincide con la pendiente de la recta que une los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\).
3) Si \(f\) es creciente en el intervalo \([a,b]\), entonces \(\mbox{TVM}[a,b]>0\)
Si \(f\) es decreciente en el intervalo \([a,b]\), entonces \(\mbox{TVM}[a,b]<0\)
Derivada de una función en un punto
DEFINICIÓN
La derivada de una función \(f\) en un punto \(x_0\) se denota por \(f'(x_0)\) y se define mediante el siguiente límite:
\(\hspace{2em} f'(x_0)=\displaystyle\lim_{ h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)} {h}\)
Si el límite anterior existe y es finito decimos que la función es derivable en \(x_0\).
Observaciones:
1) Como \(f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \mbox{TVM}(x_0,x_0+h)\), la derivada está relacionada con el crecimiento:
- Si \(f'(x_0)>0\), entonces la función es creciente en las proximidades de \(x_0\).
- Si \(f'(x_0)<0\), entonces la función es decreciente en las proximidades de \(x_0\).
2) Equivalentemente, la derivada de una función también se puede definir como:
\(\hspace{2em} f'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
A continuación, dos ejemplos para practicar con la definición de derivada:
Interpretación geométrica de la derivada
Dada una función \(f\), si fijamos un punto \(x_0\) y consideramos intervalos de la forma \([x_0,x_0+h]\), observamos lo siguiente:
- Las pendientes de las rectas que unen los puntos \((x_0,f(x_0))\) y \((x_0+h,f(x_0+h))\) (rectas secantes) tienden a \(f'(x_0)\) cuando \(h\) tiende a \(0\).
- Las rectas secantes tienden en algún sentido a una recta que pasa por \((x_0,f(x_0))\) y cuya ecuación es:
\(\hspace{2em} \hspace{2em} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)
Esta recta se denomina recta tangente.
La función derivada
DEFINICIÓN
La función derivada de una función \(f\) es una función que denotaremos mediante \(f'\) y que a cada \(x\) asigna el valor de la derivada de \(f\) en ese punto:
\(\hspace{2em} f'(x)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)} h\)
Observaciones:
1) El dominio de la función \(f'\) es el conjunto de puntos en los que la función \(f\) es derivable. Por tanto, \(\mbox{Dom}(f')\subset \mbox{Dom}(f)\).
2) También puede definirse la derivada de la función derivada, denominada segunda derivada y que se denota mediante \(f''(x)\).
Notación para derivadas sucesivas:
- Segunda derivada: \(f''(x)\)
- Tercera derivada: \(f'''(x)\)
- Derivadas más altas: \(f^{(n)}(x)\)