El cálculo de la derivada de una función a partir de su definición puede resultar tedioso y poco práctico para la mayoría de los casos. Como alternativa, se suelen emplear reglas de derivación que simplifican y agilizan el proceso, proporcionando métodos directos y sistemáticos para encontrar la derivada de funciones comunes y combinaciones de ellas. A continuación se presentan dichas reglas.
Derivadas de funciones elementales
Función constante
\(f(x)=k\longrightarrow f'(x)=0\)
Demostración
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {c-c}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac 0 h=0\)
Función identidad
\(f(x)=x \longrightarrow f'(x)=1\)
Demostración
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {x+h-x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac h h=1\)
Función potencial
\(f(x)=x^n\longrightarrow f'(x)=nx^{n-1}\)
Demostración
\(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)} h=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \frac {(x+h)^n-x^n}{h}=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^kh^{n-k} -x^n} h=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}x^kh^{n-k} }h=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \left(\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n}{k}x^kh^{n-k-1}+\binom{n}{n-1}x^{n-1}\right)=\)
\(\hspace{2em}=nx^{n-1}\)
\(f(x)=\displaystyle\frac 1 x \longrightarrow f'(x)=\displaystyle-\frac 1 {x^2}\)
\(f(x)=\sqrt{x} \longrightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(f(x)=\sqrt[n]{x} \longrightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\)
Demostración
Aunque la fórmula de derivación de \(f(x)=x^n\) se ha demostrado para \(n\in\mathbb N\), sigue siendo válida para cualquier valor real de \(n\).
Así obtenemos:
\(\displaystyle f(x)=\frac 1 x=x^{-1} \longrightarrow f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac 1 {x^2}\)
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} \longrightarrow f'(x)=\frac 1 2 x^{1/2-1}=\frac 1 2 x^{-1/2}=\frac 1{2\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n} \longrightarrow f'(x)=\frac 1 n x^{1/n-1}=\frac 1 n x^{\frac {1-n} n}=\frac 1 {n\sqrt[n]{x^{n-1}}}\)
Funciones trigonométricas
\(f(x)=\sin x \longrightarrow f'(x)=\cos x\)
\(f(x)=\cos x \longrightarrow f'(x)=-\sin x\)
\(f(x)= an x \longrightarrow \displaystyle f'(x)=1+ an^2 x=\frac 1 {\cos^2 x}\)
Función exponencial
\(f(x)=a^x \longrightarrow f'(x)=a^x \ln a\)
\(f(x)=e^x \longrightarrow f'(x)=e^x\)
Función logarítmica
\(\displaystyle f(x)=\log_a x \longrightarrow f'(x)=\frac 1 {x\ln a}\)
\(\displaystyle f(x)=\ln x \longrightarrow f'(x)=\frac 1 {x}\)
Derivadas de operaciones con funciones
Derivada de la suma
\((f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)\)
Demostración
\((f+g)'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac {f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}h=\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac {f(x+h)-f(x)}h+\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac {g(x+h)-g(x)}h=\)
\(\hspace{2em} = f'(x)+g'(x)\)
Derivada del producto
\((f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
Demostración
\((f\cdot g)'(x)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)\cdot g(x+h)\overbrace{-f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)}^0-f(x)\cdot g(x)}h=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)(g(x+h)-g(x))+g(x)(f(x+h)-f(x))} h=\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)(g(x+h)-g(x))}h+\lim_{h\rightarrow 0} \frac{g(x)(f(x+h)-f(x))}h=\)
\(\hspace{2em} =f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)=\)
\(\hspace{2em} =f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
Producto de una constante por una función
\((kf)'(x)=kf'(x)\)
Producto de varias funciones
\((f_1\cdot f_2 \cdot f_3)'(x)=f_1'(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)\cdot f_3(x)+f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3'(x)\)
Derivada del cociente
\(\left(\displaystyle\frac f g\right)'(x)=\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}\)
Demostración
\(\left(\displaystyle\frac f g\right)'(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}} h=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)\cdot g(x)}{g(x)\cdot g(x+h)} - \frac{f(x)\cdot g(x+h) }{g(x)\cdot g(x+h)} }{h}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)\cdot g(x) - f(x)\cdot g(x+h) }{g(x)\cdot g(x+h)} }{h}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)\cdot g(x) \overbrace{-f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)}^0 - f(x)\cdot g(x+h) }{g(x)\cdot g(x+h)} }{h}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x) -f(x)(g(x+h)-g(x)) }{g(x)\cdot g(x+h)} }{h}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}h \cdot g(x) -f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x) }{h} }{g(x)\cdot g(x+h)}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}\)
Ejemplos (I)
Halla las derivadas de las siguientes funciones:
a) \( f(x)=3x^4-5x^2+6x-2\)
\(f'(x)=12x^3-10x+6\)
b) \( f(x)=2\sqrt{x}\)
\(f'(x)=2\cdot \displaystyle \frac 1{2\sqrt{x}}=\frac 1 {\sqrt{x}}\)
c) \( f(x)=\displaystyle \frac 5 {x^3}\)
\(f(x)=\displaystyle \frac 5 {x^3}=5x^{-3}\)
\(f'(x)=-15x^{-4}=-\displaystyle\frac{15}{x^4}\)
d) \( f(x)=2\cos x+3\sin x\)
\(f'(x)=-2\sin x+3\cos x\)
e) \( f(x)=x an x\)
\(\displaystyle f'(x)= an x+x\cdot \frac 1 {\cos^2 x}\)
f) \( f(x)=\ln x-5\log_2 x\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac 1 x- 5\cdot \frac 1 {x\ln 2}\)
g) \(f(x)=\displaystyle \frac {e^x}x\)
\(f'(x)=\displaystyle\frac{xe^x-e^x}{x^2}\)
h) \(f(x)=\displaystyle \frac {x^2}{\ln x}\)
\(f'(x)=\displaystyle \frac{2x\ln x-x^2\cdot \displaystyle\frac 1 x}{(\ln x)^2}=\frac {2x}{\ln x}-\frac x{(\ln x)^2}\)
i) \(f(x)=\displaystyle \frac{x^3\sin x}{e^x}\)
\(f'(x)=\displaystyle\frac{(3x^2\sin x+x^3\cos x)\cdot e^x-x^3\sin x\cdot e^x}{e^{2x}}=\)
\(=\displaystyle\frac{3x^2\sin x+x^3\cos x-x^3\sin x }{e^x}\)
j) \(f(x)=\displaystyle 2^x\cdot x^2 \cdot an x\)
\(\displaystyle f'(x)=2^x\ln 2\cdot x^2\cdot an x+2^x\cdot 2x\cdot an x+2^x\cdot x^2\cdot \frac 1 {\cos^2 x}\)
Regla de la cadena
La regla de la cadena se utiliza para calcular la derivada de la función compuesta:
\((g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)\)
Ejemplo: Calcula la derivada de la función \(h(x)=\sin^2 x\)
La función \(h\) puede expresarse como la composición de funciones:
\(h(x)=g\circ f(x)\hspace{2em} \) siendo \(\hspace{1em} f(x)=\sin x\hspace{1em} \) y \(\hspace{1em} g(x)=x^2\)
Aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que
\(f'(x)=\cos x\)
\(g'(x)=2x\)
obtenemos:
\(h'(x)=(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=2\sin x\cdot \cos x\)
Observación:
En la práctica no es necesario especificar cuáles son las funciones involucradas en la composición para aplicar la regla de la cadena. Puede escribirse el resultado de forma directa, identificando las funciones de la composición mentalmente. En este ejemplo hemos desglosado cada paso con detalle para mejorar la comprensión del procedimiento.
Ejemplos (II)
Halla las derivadas de las siguientes funciones:
a) \(f(x)=\cos(5x^3-2x)\)
\(f'(x)=\sin(5x^3-2x)\cdot(15x^2-2)\)
b) \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)
\(f'(x)=\displaystyle \frac 1 {2\sqrt{4-x^2}}\cdot (-2x)=-\frac x {\sqrt{4-x^2}}\)
c) \(f(x)= an^2 x\)
\(f'(x)=\displaystyle 2 an x\cdot \frac 1 {\cos^2 x}\)
d) \(f(x)=x^2\cdot \sin(3x)\)
\(f'(x)=2x\cdot \sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot 3=2x\sin(3x)+3x^2\cos(3x)\)
e) \(f(x)=\displaystyle \frac {e^{x^2}}{x}\)
\(f'(x)=\displaystyle \frac{e^{x^2}\cdot 2x\cdot x-e^{x^2}\cdot 1}{x^2}=\)
\(=\displaystyle\frac{e^{x^2}(2x^2-1)}{x^2}\)
f) \(f(x)=\ln(\sin (x^2))\)
\(f'(x)=\displaystyle \frac 1 {\sin(x^2)}\cdot \cos(x^2)\cdot 2x\)
g) \(f(x)=\displaystyle \frac {\cos(\ln x)}{\sqrt[3]{2x-1}}\)
\(f'(x)=\displaystyle \frac{ \displaystyle-\sin( \ln x)\cdot \frac 1 x\cdot \sqrt[3]{2x-1} - \cos(\ln x)\cdot \frac 1 {3\sqrt[3]{(2x-1)^2}} \cdot 2 }{ \sqrt[3]{(2x-1)^2} }=\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle \frac{-\sin(\ln x)}{x\sqrt[3]{2x-1}}- \frac{2\cos(\ln x)}{3\sqrt[3]{(2x-1)^4 } }\)