Definición de expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas.
Ejemplos:
a) \(2x+3y-4\)
b) \(\displaystyle \frac {a-b}{a+2b}\)
c) \(4x^3+3x^2-5x-1\)
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones
Ejemplo: Halla el valor numérico de \(5x^2-3y\) para \(x=-1\) e \(y=2\)
Valor numérico: \(\hspace{1em} 5(-1)^2-3\cdot 2=5-6=-1\)
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica que consiste en un número que puede multiplicar a una o varias letras elevadas a exponentes no negativos.
El coeficiente de un monomio es el número que multiplica a las letras.
La parte literal de un monomio es la parte formada por las letras.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes que aparecen en las letras.
Ejemplos:
a) \(5x^2\)
Coeficiente: \(5\)
Parte literal: \(x^2\)
Grado: \(2\)
b) \(\displaystyle\frac 4 3 xy^2\)
Coeficiente: \(\displaystyle \frac 4 3\)
Parte literal: \(xy^2\)
Grado: \(1+2=3\)
c) \(8\)
Coeficiente: \(8\)
Parte literal: no tiene
Grado: \(0\)
Suma y resta de monomios
Los monomios se pueden sumar cuando son semejantes, es decir, cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplos:
a) \(6x^2-3x^2+6x=3x^2+6x\)
b) \(-7ab^2+5ab^2-2ab^2=-4ab^2\)
Multiplicación y potencias de monomios
Estas operaciones se realizan teniendo en cuenta propiedades conocidas de las potencias.
Ejemplos:
a) \((5x^2y^2)\cdot (2 xy^3)=10x^3y^5\)
b) \((3a^2b^3)^4=81a^8b^{12}\)
Cociente de monomios
Ejemplos:
a) \(\displaystyle \frac{3x^4y}{2x^2y}=\frac 3 2 x^2\)
b) \(\displaystyle \frac{4a^2b^2}{2ab^3}=\frac {2a}b\)
Observación:
El cociente de monomios no siempre es un monomio.
Polinomios
Un polinomio es una suma de monomios.
Los monomios que conforman un polinomio se llaman términos.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.
El término independiente es el término de grado 0.
El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado.
Ejemplo:
\(p(x)=5x^6+4x^3-3x^2+6x-4\)
Términos: \(5x^6\), \(4x^3\), \(-3x^2\), \(6x\), \(-4\)
Grado del polinomio: \(6\)
Término independiente: \(-4\)
Coeficiente principal: \(5\)
Suma de polinomios
Los polinomios se suman teniendo en cuenta que están formados por monomios.
Ejemplo: \((3x^2+5x-6)+(6x^2-4x+2)=9x^2+x-4\)
Si los polinomios tienen muchos términos puede resultar más cómodo realizar la suma colocando los polinomios uno encima de otro.
Ejemplo: Calcula \(p(x)+q(x)\), siendo
\(p(x)=6x^5+3x^4-4x^3+6x^2+5x-2\)
\(q(x)= -2x^5+8x^4-5x^3-3x^2+2x+1\)
\(\begin{array}{ccccccc} p(x): & 6x^5 & +3x^4 & -4x^3 & +6x^2& 5x & -2 \\ q(x): & -2x^5 & +8x^4 & -5x^3 & -3x^2 & +2x & +1 \\ \hline p(x)+q(x): & 4x^5 & +11x^4 & -9x^3 & +3x^2 & +7x & -1 \end{array}\)
Resta de polinomios
Para restar dos polinomios se le suma al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo: \((3x^2+5x-6)-(6x^2-4x+2)=(3x^2+5x-6)+(-6x^2+4x-2)=-3x^2+9x-8\)
También puede ser útil colocar un polinomio sobre el opuesto del otro si los polinomios tienen muchos términos.
Ejemplo: Calcula \(p(x)-q(x)\), siendo
\(p(x)=6x^5+3x^4-4x^3+6x^2+5x-2\)
\(q(x)= -2x^5+8x^4-5x^3-3x^2+2x+1\)
\(\begin{array}{ccccccc} p(x): & 6x^5 & +3x^4 & -4x^3 & +6x^2& 5x & -2 \\ -q(x): & 2x^5 & -8x^4 & +5x^3 & +3x^2 & -2x & -1 \\ \hline p(x)-q(x): & 8x^5 & -5x^4 & +x^3 & +9x^2 & +3x & -3 \end{array}\)
Multiplicación de polinomios
La multiplicación de polinomios se realiza fácilmente aplicando propiedades como la distributiva.
Ejemplos:
a) \(5x^2\cdot(8x^2-3x-4)=40x^4-15x^3-20x^2\)
b) \((3x^2-4x+1)\cdot(2x^2+2x-3)=\)
\(=6x^4+6x^3-9x^2-8x^3-8x^2+12x+2x^2+2x-3=\)
\(=6x^4-2x^3-15x^2+14x-3\)
La multiplicación también puede realizarse colocando de forma ordenada los términos que van obteniéndose antes de sumarlos:
\(\begin{array}{llll} & & 3x^2 & -4x & +1 \\ & & 2x^2 & +2x & -3 \\ \hline & & -9x^2 & +12 x & -3 \\ & 6x^3 &-8x^2 & +2x & \\ 6x^4 &-8x^3 & +2x^2 & \\ \hline 6x^4 & -2x^3 & -15x^2 & +14x & -3\end{array}\)
Identidades notables
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2\)
Ejemplos:
a) \(\left(\displaystyle3x+\frac 1 4\right)^2=\displaystyle 9x^2+\frac 3 2x+\frac 1 {16}\)
b) \((2x^2-5y)^2=(4x^4-20x^2y+25y^2)\)
c) \((x^3-2)\cdot(x^3+2)=x^6-4\)