Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de polinomios más sencillos.
A continuación se presentan varios métodos que se utilizan frecuentemente para factorizar polinomios.
Extracción de factor común
Este método de factorización se basa en la propiedad distributiva:
\(a(b+c)=ab+ac\)
aplicada en sentido inverso (de derecha a izquierda).
Ejemplo: Factoriza el polinomio \(p(x)=3x^2y+9xy^2\)
\(p(x)=3xy(x+3y)\)
Aplicación de identidades notables
La aplicación de las fórmulas de las identidades notables en sentido inverso también nos permite factorizar polinomios:
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Ejemplos:
a) \(p(x)=9x^2+24x+16\)
b) \(q(x)=49-28x^2+4x^4\)
c) \(r(x)=x^4-1\)
Solución
a) \(p(x)=9x^2+24x+16=\)
\(=(3x+4)^2\)
b) \(q(x)=49-28x^2+4x^4=\)
\(=(7-2x^2)^2\)
c) \(r(x)=x^4-1=\)
\(=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)\)
Método de Ruffini
La clave del método de Rufini está en dividir sucesivamente por polinomios de la forma \(x-a\), siendo \(a\) un número real para el que el resto de la división es cero.
A continuación se muestran los resultados y conceptos necesarios que justifican este método.
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio \(p(x)\) entre \(x-a\) es el valor numérico del polinomio para \(x=a\).
Ejemplo: Considera la división \(p(x):(x-3)\) siendo \(p(x)=x^3-5x^2+2x-1\).
Según el teorema, el resto de la división es \(p(3)=3^3-5\cdot 3^2+2\cdot 3-1=-13\)
Si hacemos la división usando la regla de Ruffini, obtenemos de nuevo \(-13\) como resto:
\(\begin{array}{l|llll} & 1 & -5 & 2 & -1 \\ 3 & & 3 & -6 & -12 \\ \hline & 1 & -2 & -4 & \boxed{-13}\end{array}\)
Demostración
\(\begin{array}{ll} p(x) & \underline{|x-a \ } \\ r & c(x)\end{array}\)
De la prueba la división obtenemos:
\(p(x)=c(x)(x-a)+r\)
\(p(a)=c(a)(a-a)+r(a)=c(a)\cdot 0+r=r\)
Teorema del factor
Un polinomio \(p(x)\) admite a \(x-a\) como factor si y sólo si \(p(a)=0\).
Demostración
\(\underline{\Leftarrow |}\)
Si \(p(a)=0\), por el teorema del resto, el resto de dividir \(p(x)\) entre \(x-a\) es cero.
\(\begin{array}{cl} p(x) & |\hspace{-0.1cm}\underline{\ x-a \ } \\ 0 & c(x)\end{array}\)
Luego
\(p(x)=c(x)(x-a)\)
\(\underline{\Rightarrow|}\)
Por otra parte, si \(x-a\) es un factor de \(p(x)\), entonces \(p(x)=c(x)(x-a)\) para algún polinomio \(c(x)\) y, por tanto,
\(p(a)=c(a)(a-a)=0\)
Ejemplo: Comprueba que el valor numérico de \(p(x)=x^4-3x^2-4\) para \(x=2\) es cero y factoriza el polinomio incluyendo el factor \(x-2\).
\(p(2)=2^4-3\cdot 2^2-4=0\)
Dividiendo \(p(x)\) entre \(x-2\) obtenemos, usando la regla de Ruffini:
\(\begin{array}{l|llll} & 1 & 0 & -3 & 0 & -4 \\ 2 & & 2 & 4 & 2 & 4\\ \hline & 1 & 2 & 1 & 2 & \boxed{0}\end{array}\)
Por tanto, la prueba de la división proporciona \(p(x)=(x-2)(x^3+2x^2+x+2)\)
Vemos en el ejemplo que para encontrar un factor de \(p(x)\) de la forma \(x-a\) necesitamos que \(p(a)=0\), lo cual motiva la siguiente definición:
Definición: Una raíz de un polinomio \(p(x)\) es un número real \(a\) que verifica \(p(a)=0\).
El método de Ruffini requiere conocer alguna raíz del polinomio \(p(x)\), lo cual puede conseguirse resolviendo la ecuación \(p(x)=0\). Como esto no siempre es fácil, especialmente con polinomios de alto grado, nos basta con disponer de alguna estrategia para localizar raíces sencillas.
Suponiendo que las raíces de un polinomio son enteras, tenemos el siguiente resultado:
Las raíces del polinomio son divisores del término independiente.
Ejemplo:
Factorización de polinomios de grado dos
Si tenemos un polinomio de grado dos \(p(x)=ax^2+bx+c\), podemos encontrar fácilmente todas las raíces del polinomio a partir de la fórmula de la ecuación de segundo grado.
Si \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de \(p(x)\), del teorema del factor sabemos que \(x-x_1\) y \(x-x_2\) son factores de \(p(x)\).
¿Podría ser \(p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\)? La respuesta es que no necesariamente, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: \(p(x)=2x^2-10x+12\)
Raíces de \(p(x)\):
\(2x^2-10x+12=0\)
\(x^2-5x+6=0\)
\(x=\displaystyle \frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 6}}2=\frac{5\pm\sqrt{1}} 2= \begin{array}{l} \nearrow \\ \searrow \end{array}\begin{array}{l} \displaystyle\frac{5+1}2=3 \\ \displaystyle\frac {5-1} 2 =2 \end{array}\)
El polinomio \((x-3)(x-2)\) no es evidentemente una factorización de \(p(x)\) porque \((x-3)(x-2)=x^2-5x+6\) es distinto de \(p(x)\).
La factorización correcta es \(\boxed{p(x)=2(x-3)(x-2)}\) pues el coeficiente principal de \(p(x)\) es \(2\), que no puede conseguirse multiplicando \(x-3\) y \(x-2\).
En general, un polinomio de grado dos puede factorizarse como \(p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\), siendo \(x_1\) y \(x_2\) raíces del polinomio y \(k\) una constante a determinar.
Observación:
Este método puede extenderse fácilmente al caso de un polinomio \(p(x)\) de grado superior a dos, siempre que la ecuación \(p(x)=0\) sea sencilla de resolver (por ejemplo, si se trata de una ecuación bicuadrada).
Combinación de métodos
En muchas ocasiones, la forma más eficiente de factorizar un polinomio es mediante la combinación de distintos métodos, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1: Extracción de factor común + identidades notables
Factoriza el polinomio \(p(x)=12x^5+12x^4+3x^3\)
Solución
\(p(x)=12x^5+12x^4+3x^3=\)
\(=3x^3(4x^2+4x+1)=\hspace{2em} \) (extracción de factor común)
\(=3x^3(2x+1)^2\hspace{2em}\hspace{2em}\hspace{1em}\) (identidades notables)
Ejemplo 2: Extracción de factor común + método de Ruffini + factorización de polinomio de segundo grado.
Factoriza el polinomio \(q(x)=4x^5+8x^4+x^3-3x^2\).
Solución
Extracción de factor común:
\(q(x)=4x^5+8x^4+x^3-3x^2=\)
\(=x^2(4x^3+8x^2+x-3)\hspace{2em} \)
Método de Ruffini:
Posibles raíces enteras de \(4x^3+8x^2+x-3\): \(\hspace{2em} \pm 1\), \(\pm 3\)
\(\begin{array}{c|ccccc} & 4 & 8 & 1 & -3 \\ -1 & & -4 & -4 & 3 \\ \hline & 4 & 4 & -3 & \boxed{0}\end{array}\)
\(q(x)=x^2(x+1)(4x^2+4x-3)\)
Factorización de \(4x^2+4x-3\):
\(4x^2+4x-3=0\)
\(x=\displaystyle \frac{ -4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot (-3) } }{8}=\frac{-4\pm\sqrt{64}} 8= \begin{array}{l} \nearrow \\ \searrow \end{array}\begin{array}{l} \displaystyle\frac{-4+8}8=\frac 1 2 \\ \displaystyle\frac {-4-8} 8 =-\frac 3 2 \end{array}\)
\(4x^2+4x-3=4\left(x+\displaystyle\frac 3 2\right)\left(x-\displaystyle\frac 1 2\right)\)
Factorización de \(q(x)\):
\(q(x)=4x^2(x+1)\left(x+\displaystyle\frac 3 2\right)\left(x-\displaystyle\frac 1 2\right)\)
Observación:
También es válida la factorización \(q(x)=x^2(x+1)(2x+3)(2x-1)\)