Combinaciones

Combinaciones de \(m\) elementos tomados de \(n\) en \(n\)

Son las distintas agrupaciones que pueden formarse al tomar \(n\) elementos distintos de un conjunto de \(m\) elementos sin importar el orden.

\(C_{m,n}=\displaystyle\binom{m}{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}\)

Ejemplo: Se quiere elegir a tres de los siete deportistas de un club de atletismo para que participen en una competición deportiva. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse la elección?

Si importara el orden con el que se seleccionaran los deportistas, el número de maneras distintas sería:

\(V_{7,3}=7\cdot 6\cdot 5=210\) maneras

Como el orden no nos importa, en las 210 maneras anteriores estamos contando varias veces la misma combinación.

Así, si distinguimos a los deportistas por un número del 1 al 7 y elegimos, por ejemplo, a los tres primeros, en las 210 maneras anteriores hay \(P_3=3!=6\) maneras de elegirlos que llevan a la misma combinación:

1, 2, 3    1, 3, 2    2, 1, 3

2, 3, 1    3, 1, 2    3, 2, 1

Por tanto, el número de combinaciones se obtiene dividiendo por \(P_3\):

\(C_{7,3}=\displaystyle \frac{V_{7,3}} {P_3}=\frac{210}{6}=35\) maneras posibles

Observación:

Podemos obtener la fórmula de las combinaciones multiplicando numerador y denominador por \(4!\):

\(C_{7,3}=\displaystyle \frac{V_{7,3}} {P_3}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{3!\cdot 4!}=\frac{7!}{3!\cdot 4!}\)

Ejemplos:

a) Para hacer un examen hay que elegir y responder exclusivamente a 3 de las 5 preguntas que incluye. ¿De cuántas maneras puede hacerse la selección de preguntas?

b) Una heladería ofrece helados de cuatro sabores: chocolate, fresa, vainilla y nata. Si las tarrinas se sirven con dos bolas de helado, ¿cuántos tipos distintos de tarrinas pueden comprar los clientes?