Combinatoria

La combinatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa de contar las distintas agrupaciones que pueden realizarse con los elementos de un conjunto, atendiendo a ciertos criterios como los siguientes:

• Si influye el orden con el que se agrupan los elementos.
• Si pueden repetirse los elementos.

Principios y fundamentales que utilizan en combinatoria:

Principio de adición o de la suma

Si una tarea se puede hacer de \(m\) formas y otra tarea se puede hacer de \(n\) formas, siendo ambas tareas mutuamente excluyentes, entonces cualquiera de las tareas se puede hacer de \(m+n\) formas.

Ejemplo:  Se quiere elegir el primer plato de la Cena de Graduación. Hay dos opciones: sopa o ensalada. Para la sopa, tenemos tres posibilidades: sopa de picadillo, sopa de champiñones y gazpachuelo . Para la ensalada hay dos posibilidades: ensalada César y ensalada caprese. ¿De cuántas formas puede elegirse el primer plato?

Hay \(3+2=5\) posibilidades para elegir el primer plato (3 sopas y 2 ensaladas).

Principio del producto o de la multiplicación

Si una tarea se realiza en \(k\) etapas sucesivas y cada etapa puede hacerse de \(n_1\), \(n_2\), \(\ldots\), \(n_k\) formas, entonces el número total de formas de realizar la tarea es \(n_1\cdot n_2 \cdot\ldots \cdot n_k\).

Ejemplo: Para elegir el menú de la Cena de Graduación, el primer plato tiene cinco posibilidades y el segundo plato, tres posibilidades (brocheta de ternera, lubina, pastel de puerros). ¿Cuántos menús diferentes podrían elegirse?

Puede haber \(5\cdot 3=15\) menús diferentes.

Dos formas de visualizar este principio son los casilleros y los diagramas de árbol.

En el ejemplo anterior:

Casillero:

	Brocheta de ternera	Lubina	Pastel de puerros
Sopa de picadillo	Sopa de picadillo Brocheta de ternera	Sopa de picadillo Lubina	Sopa de picadillo Pastel de puerros
Sopa de champiñones	Sopa de champiñones Brocheta de ternera	Sopa de champiñones Lubina	Sopa de champiñones Pastel de puerros
Gazpachuelo	Gazpachuelo Brocheta de ternera	Gazpachuelo Lubina	Gazpachuelo Pastel de puerros
Ensalada César	Ensalada César Brocheta de ternera	Ensalada César Lubina	Ensalada César Pastel de puerros
Ensalada caprese	Ensalada caprese Brocheta de ternera	Ensalada caprese Lubina	Ensalada caprese Pastel de puerros

Diagrama de árbol:

Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede configurar un coche si hay dos colores disponibles (azul o rojo), se pueden elegir dos tipos de motor (diesel o gasolina) y la transmisión puede ser automática o manual? Muestra las distintas posibilidades con la ayuda de un diagrama de árbol.