Variaciones (sin repetición u ordinarias) de \(m\) elementos tomados de \(n\) en \(n\)
Son las agrupaciones ordenadas de \(n\) elementos distintos que pueden formarse con los \(m\) elementos de un conjunto.
\(V_{m,n}=m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdot\ldots\cdot(m-n+1)\)
Ejemplos:
a) ¿Cuántos números de 2 cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4 sin repetir ninguno de ellos?
b) ¿De cuántas maneras distintas pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce los 12 atletas que participan en una final de salto de longitud?
Solución
a) \(V_{4,2}=4\cdot 3=12\) números posibles
b) \(V_{12,3}=12\cdot 11 \cdot 10=1320\) maneras distintas
Permutaciones de \(m\) elementos
Son las distintas formas de ordenar \(m\) elementos distintos.
\(P_m=m!=m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)
A \(m!\) se le llama factorial del número \(m\).
Ejemplos:
a) ¿Cuántos números distintos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 sin repetir ninguno y utilizándolos todos?
b) ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar cuatro personas en un banco?
Solución
a) \(P_5=5!=120\) números distintos
b) \(P_4=4!=24\) formas distintas
Observación:
\(V_{m,m}=P_m\)
Variaciones con repetición de \(m\) elementos tomados de \(n\) en \(n\)
Son las agrupaciones ordenadas de \(n\) elementos no necesariamente distintos que pueden formarse a partir de un conjunto de \(m\) elementos.
\(VR_{m,n}=m^n\)
Ejemplos:
a) ¿Cuántos números distintos de 3 cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4 si éstos se pueden repetir?
b) Para ir de casa al trabajo y del trabajo a casa puedo hacerlo andando, en autobús o en metro. ¿De cuántas formas diferentes puedo desplazarme para ir y venir del trabajo?
Solución
a) \(VR_{4,3}=4^3=64\) números distintos
b) \(VR_{3,2}=3^2=9\) formas diferentes