Antes de dar una definición de la función inversa, veamos el siguiente ejemplo introductorio:
Definición
Se define la función inversa de una función \(f\) como la función que asigna a cada \(b\in\mbox{Im}(f)\) un valor \(a\in\mbox{Dom}(f)\) tal que \(f(a)=b\).
La función inversa se denota por \(f^{-1}\).
\(\hspace{2em} a\hspace{1em} \xrightarrow{\hspace{1em} f \hspace{1em}} \hspace{1em} f(a)=b \hspace{1em} \xrightarrow{\hspace{1em} f^{-1} \hspace{1em}} \hspace{1em} a\)
Observaciones
1) \(f^{-1}\) puede definirse siempre que el valor \(a\) para el que \(f(a)=b\) sea único.
2) \(\mbox{Dom}(f^{-1})=\mbox{Im}(f)\)
3) Teniendo en cuenta el esquema
\(\hspace{2em} a\hspace{1em} \xrightarrow{\hspace{1em} f \hspace{1em}} \hspace{1em} f(a)=b \hspace{1em} \xrightarrow{\hspace{1em} f^{-1} \hspace{1em}} \hspace{1em} a\)
vemos que la función inversa deshace la transformación realizada por \(f\) para recuperar el valor de partida \(a\in\mbox{Dom}(f)\).
En términos de composición de funciones, puede escribirse:
\(\hspace{2em} \boxed{f^{-1}\circ f(x)=x}\)
4) Por otra parte, para cada \(b\in\mbox{Im}(f)\) y suponiendo que \(f\) tiene inversa, sabemos que existe un único \(a\in\mbox{Dom}(f)\) tal que \(f(a)=b\).
Considerando el siguiente esquema:
\(\hspace{2em} b\hspace{1em} \xrightarrow{\hspace{1em} f^{-1} \hspace{1em}} \hspace{1em} f^{-1}(b)=a \hspace{1em} \xrightarrow{\hspace{1em} f \hspace{1em}} \hspace{1em} f(a)=b\)
vemos que \(\hspace{2em} \boxed{f\circ f^{-1}(x)=x}\)
Esto significa que \(f\) también es la inversa de \(f^{-1}\). Por ello, se suele decir que \(f\) y \(f^{-1}\) son funciones inversas, sin especificar qué función es inversa de otra.
Por tanto, para determinar que dos funciones \(f\) y \(g\) son inversas, basta comprobar que se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
\(\hspace{2em} f\circ g(x)=x\)
\(\hspace{2em} g\circ f(x)=x\)
A continuación se muestra un ejemplo en el que se aplica el concepto de función inversa:
Gráficas de las funciones inversas
Como se vio en el ejemplo anterior, las gráficas de las funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Esto se debe a que cada punto \((a,b)\) de la gráfica de una función \(f\) se corresponde con el punto \((b,a)\) de la gráfica de \(f^{-1}\), que claramente es simétrico de \((a,b)\) con respecto de la recta \(y=x\), ya que se cumple lo siguiente:
- Los puntos \((a,b)\) y \((b,a)\) siempre están a la misma distancia de la recta \(y=x\).
- El segmento que los une es perpendicular a dicha recta.
El applet de GeoGebra de la derecha ilustra lo que se acaba de comentar sobre los puntos \((a,b)\) y \((b,a)\). Además, a partir de cierta función \(f\), que pasa por el punto \((a,b)\), se obtiene la gráfica de \(f^{-1}\) mediante reflexión de cada punto de la gráfica de \(f\) sobre la bisectriz del primer cuadrante.
Otro punto de vista
Si una función \(f\) relaciona valores de la variable independiente \(x\) con valores de la variable dependiente \(y\), la función inversa relaciona los valores de \(y\), que para ella son los de la variable independiente, con los de \(x\). Por tanto, si representamos gráficamente la función \(f\) en unos ejes cartesianos y la miramos de forma que el eje \(y\) sea el horizontal y el eje \(x\), el vertical, obtendremos la gráfica de \(f^{-1}\).
Para conseguir esto, basta girar los ejes \(90^\mbox{o}\) en el sentido contrario a las agujas del reloj y reflejar la gráfica girada con respecto a una línea vertical que pase por el origen, como se muestra en el applet de GeoGebra de la derecha.