Las funciones polinómicas son funciones elementales cuya expresión analítica es un polinomio.
El dominio de las funciones polinómicas es todo \(\mathbb R\).
Dentro de las funciones polinómicas, vamos a ver los siguientes tipos:
- Funciones constantes
- Funciones de proporcionalidad directa
- Funciones afines
- Funciones cuadráticas
Funciones constantes
Su expresión analítica es de la forma:
\(\hspace{2em} f(x)=k,\hspace{2em} k\in\mathbb R\)
Su representación gráfica es una línea horizontal.
- Al variar el valor de \(k\), la gráfica se desplaza verticalmente.
Funciones de proporcionalidad directa
Expresión analítica: \(\hspace{2em} f(x)=mx \hspace{2em} \)con \(m\in\mathbb R\)
La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
\(m\) es la pendiente de la recta.
- \(m\) representa la variación de la variable \(y\) por cada unidad de variación de la variable \(x\).
- La recta tiene mayor inclinación cuanto mayor es el valor de \(|m|\).
- La función es creciente si \(m>0\) y decreciente si \(m<0\).
- Geométricamente, la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas.
Funciones afines
Tienen una expresión analítica de la forma:
\(\hspace{2em} y=mx+n\hspace{2em} \)con \(m,n\in\mathbb R\)
La representación gráfica es una recta que no pasa por el origen.
\(m\) es la pendiente de la recta y tiene el mismo significado que en las funciones de proporcionalidad.
\(n\) es la ordenada en el origen.
- \(n\) es el valor de la coordenada \(y\) del punto correspondiente a \(x=0\) (punto de corte con el eje de ordenadas).
- Al variar \(n\), el punto de corte con el eje \(y\) se desplaza verticalmente.
La expresión analítica de una función afín también puede obtenerse mediante la ecuación punto-pendiente:
\(\hspace{2em} y=y_0+m(x-x_0)\)
siendo \((x_0,y_0)\) un punto de la gráfica de la función y \(m\), la pendiente.
Si se conoce otro punto \((x_1,y_1)\) de la gráfica, la pendiente puede calcularse mediante:
\(\hspace{2em} m=\displaystyle \frac{\mbox{variación de }y}{\mbox{variación de }x}=\frac {y_1-y_0}{x_1-x_0}\)
Funciones cuadráticas
Tienen una expresión analítica de la forma:
\(\hspace{2em} f(x)=ax^2+bx+c \hspace{2em} a,b,c\in\mathbb R\hspace{1em} a\cancel{=} 0\)
La representación gráfica es una parábola.
- Al variar \(a\), se modifica la apertura de la parábola. Si \(a>0\), la parábola es convexa y si \(a<0\), cóncava.
- El vértice de la parábola está en el punto \(\displaystyle x_v=\frac {-b}{2a}\).
- La recta \(\displaystyle x=\frac {-b}{2a}\) es el eje de simetría de la parábola.
- Al variar \(c\), la parábola se desplaza verticalmente.