Módulo y argumento de un número complejo
Módulo de un número complejo z:
Es la longitud del vector que lo representa.
Se denota mediante \(|z|\).
Argumento de un número complejo \(z\):
Es el ángulo que forma el vector que lo representa con el eje real.
Se denota mediante \(arg(z)\).
Forma polar de un número complejo \(z\):
\(\hspace{2em} z=r_\alpha\)
siendo \(r=|z|\) y \(\alpha=arg(z)\)
Observaciones
1) El número complejo \(0\) no tiene argumento.
2) Un número complejo tiene infinitos argumentos.
3) El opuesto de \(z=r_\alpha\) es \(-z=r_{\alpha+180^\mbox{o}}\).
4) El conjugado de \(z=r_\alpha\) es \(\overline z=r_{-\alpha}\).
Paso de forma binómica a forma polar
Forma binómica: \(z=a+bi\)
Forma polar: \(z=r_\alpha\)
\(r\) y \(\alpha\) pueden obtenerse a partir de \(a\) y \(b\) mediante (ver applet):
\(\hspace{2em} r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\hspace{2em} an\alpha= an(arg(z))=\displaystyle \frac b a\)
Paso de forma polar a forma binómica
Forma polar: \(z=r_\alpha\)
Forma binómica: \(z=a+bi\)
\(a\) y \(b\) pueden obtenerse a partir de \(r\) y \(\alpha\) mediante (ver applet):
\(\hspace{2em} a=r\cos\alpha\)
\(\hspace{2em} b=r\sin\alpha\)
Por tanto, \(\hspace{1em} z=a+bi=r\cos\alpha+ir\sin\alpha\).
Forma trigonométrica: \(\hspace{1em} z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\)