Los números complejos

Sabemos que la ecuación \(x^2+1=0\) no tiene soluciones reales. De tener solución, necesitamos algo que al cuadrado dé \(-1\).

Esta idea motiva la siguiente defición:

Definimos un nuevo número \(i\), llamado unidad imaginaria,  que verifica \(i^2=-1\), es decir, \(i\) es una raíz de \(-1\).

Pretendemos ahora extender el conjunto de los números reales a un conjunto más amplio que incluya a la unidad imaginaria.

Conjunto de los números complejos: \(\hspace{1em}\mathbb C=\{a+bi: a,b\in\mathbb R\}\)

Ejemplos:   \( 3+4i\) \(\hspace{2em}\displaystyle\frac 1 2-2i\) \(\hspace{2em}\pi-\sqrt 2 i \)

\(\hspace{2em}\hspace{2em}\hspace{1em}  8 \hspace{2em} \hspace{1em} -3i\) \(\hspace{2em} \hspace{2em} 0\)

Observación:  \(\mathbb R\subset  \mathbb C\).

Forma binómica de un número complejo \(z\):  \(z=a+bi\)

Partes real e imaginaria de un número complejo:

Parte real del número complejo \(z\):  \(\mbox{Re}(z)=a\)

Parte imaginaria del número complejo \(z\):  \(\mbox{Im}(z)=b\)

Ejemplo:  \(\mbox{Re}(3-5i)=3\)

\(\hspace{2em} \hspace{2em} \mbox{Im}(3-5i)=-5\)

Igualdad de números complejos:

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales:

\(\hspace{2em} a+bi=c+di \iff a=c\hspace{1em} \mbox{  y  }\hspace{1em} b=d\)

Números imaginarios:

Son aquellos números complejos cuya parte imaginaria no es cero.

Ejemplos:   \(4-i\), \(5i\), \(1+2i\)

Números imaginarios puros:

Son aquellos cuya parte real es cero.

Ejemplos:   \(4i\), \(-3i\), \(\displaystyle \frac 3 4 i\)

Opuesto de un número complejo:

Dado un número complejo \(z=a+bi\), definimos el opuesto de \(z\) como \(-z=-a-bi\).

Ejemplo:   Si \(z=3-6i\), entonces \(-z=-3+6i\)

Conjugado de un número complejo:

Dado un número complejo \(z=a+bi\), definimos el conjugado de \(z\) como \(\overline z=a-bi\).

Ejemplo:   \(\overline{2+3i}=2-3i\)

Un número complejo \(z=a+bi\) puede representarse en unos ejes cartesianos de las siguientes maneras:

• Mediante su afijo: el punto \((a,b)\)
• Mediante el vector que une \((0,0)\) con su afijo \((a,b)\)

En el siguiente applet de GeoGebra se representa gráficamente un número complejo, así como su opuesto y su conjugado.