Multiplicación
Dados dos números complejos \(r_\alpha\) y \(s_\beta\), el producto de ambos viene dado por:
\(\hspace{2em} r_\alpha\cdot s_\beta=(r s)_{\alpha+\beta}\)
Demostración
\(r_\alpha\cdot s_\beta=(r\cos\alpha+ir\sin\alpha)\cdot(s\cos\beta+is\sin\beta)=\)
\(\hspace{2em} =rs\cos\alpha\cos\beta+irs\cos\alpha\sin\beta+irs\sin\alpha\cos\beta+rsi^2\sin\alpha\sin\beta=\)
\(\hspace{2em}=rs\cos\alpha\cos\beta-rs\sin\alpha\sin\beta+irs\cos\alpha\sin\beta+irs\sin\alpha\cos\beta=\)
\(\hspace{2em}=rs\left(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\right)=\)
\(\hspace{2em}=rs\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)=\)
\(\hspace{2em}=(rs)_{\alpha+\beta}\)
Caso particular: multiplicación por \(1_\beta\)
\(\hspace{2em} r_\alpha\cdot 1_\beta=r_{\alpha+\beta}\)
Observación
Podemos interpretar geométricamente esta operación como un giro: el afijo del número complejo \(r_\alpha\cdot 1_\beta=r_{\alpha+\beta}\) se obtiene girando el afijo de \(r_\alpha\) un ángulo \(\beta\) respecto al origen.
División
Dados dos números complejos \(r_\alpha\) y \(s_\beta\), se tiene que
\(\hspace{2em} \displaystyle \frac {r_\alpha}{s_\beta}=\left( \frac r s \right)_{\alpha-\beta}\)
Demostración
Consecuencia de verificarse la prueba de la división:
\(\hspace{2em} \displaystyle s_\beta\cdot \left( \frac r s \right)_{\alpha-\beta}=\left(\frac{s\cdot r}s \right)_{\beta+\alpha-\beta}=r_\alpha\)
Potencia
Dado el número complejo \(r_\alpha\) y \(n\in\mathbb N\), se tiene que:
\(\hspace{2em} (r_\alpha)^n=(r^n)_{n\alpha}\)
Fórmula de Moivre:
\(\hspace{2em} (\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=\cos n\alpha+i\sin n\alpha\)
Demostración
\((\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=(1_\alpha)^n=1_{n\alpha}=\cos n\alpha+i\sin n\alpha\)
Ejercicio: Obtén las fórmulas de \(\cos 2\alpha\) y \(\sin 2\alpha\) basándote en el cuadrado del número complejo \(1_\alpha\).
Solución
Trabajando en forma polar:
\((1_\alpha)^2=1_{2\alpha}=\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha\)
Calculando la potencia \((1_\alpha)^2\) trabajando en forma binómica:
\((1_\alpha)^2=(\cos\alpha+i\sin\alpha)^2=\cos^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha+i^2\sin^2\alpha=\)
\(\hspace{2em} =\cos^2\alpha-\sin^2 \alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha\)
Igualando las partes real e imaginaria de las dos expresiones obtenidas para \((1_\alpha)^2\), finalmente obtenemos:
\(\hspace{2em} \cos 2\alpha=\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha\)
\(\hspace{2em} \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
Raíces
Raíz n-ésima de un número complejo \(z=s_\beta\)
\(r_\alpha\) es una raíz n-ésima de \(s_\beta\) \(\iff (r_\alpha)^n=s_\beta\)
De aquí obtenemos:
\(\hspace{2em} (r^n)_{n\alpha}=s_\beta\)
De donde deducimos
\(\hspace{2em} r^n=s\)
\(\hspace{2em} n\alpha=\beta+360^\mbox{o}\cdot k, \hspace{2em} k\in\mathbb Z\)
Y esto equivale a:
\(\hspace{2em} r=\sqrt[n]{s}\)
\(\hspace{2em} \displaystyle\alpha=\frac{\beta} n+\frac{360^\mbox{o}}n\cdot k, \hspace{2em} k\in\mathbb Z\)
En principio, puede parecer que \(s_\beta\) tiene infinitas raíces (tantas como números enteros). Hallemos los argumentos de algunas de ellas:
\(k=0, \hspace{1em} \alpha=\displaystyle\frac{\beta} n\)
\(k=1, \hspace{1em} \alpha=\displaystyle\frac{\beta} n+\frac{360^\mbox{o}}n\)
\(k=2, \hspace{1em} \alpha=\displaystyle\frac{\beta} n+\frac{360^\mbox{o}}n\cdot 2\)
\(\hspace{2em}\hspace{2em} \vdots\)
\(k=n-1, \hspace{1em} \alpha=\displaystyle\frac{\beta} n+\frac{360^\mbox{o}}n\cdot (n-1)\)
\(k=n, \hspace{1em} \alpha=\displaystyle\frac{\beta} n+\frac{360^\mbox{o}}n\cdot n=\frac\beta n+360^\mbox{o}\)
Observamos que el último argumento equivale al argumento obtenido para \(k=0\), es decir, \(\displaystyle \alpha=\frac \beta n\). Por tanto, a partir de \(k=n\) van a repetirse los primeros \(n\) argumentos y podemos afirmar que sólo hay \(n\) raíces distintas.
En resumidas cuentas, el módulo y el argumento de las raíces n-ésimas de \(s_\beta\) pueden obtenerse de la siguiente manera:
\(\hspace{2em}\) Módulo: \(r=\sqrt[n]{s}\)
\(\hspace{2em}\) Argumento: \(\alpha_{k+1}=\displaystyle \frac \beta n+\frac{360^\mbox{o}} n\cdot k, \hspace{2em} k\in\{0,1,\dots,n-1\}\)
\(\hspace{2em}\) O en forma recurrente:
\(\hspace{2em} \hspace{2em} \hspace{2em} \hspace{1em} \alpha_1=\displaystyle \frac \beta n\)
\(\hspace{2em} \hspace{2em} \hspace{2em} \hspace{1em} \alpha_{k+1}=\alpha_k+\displaystyle \frac{360^\mbox{o}}n, \hspace{2em} k\in\{1,2,\dots,n-1\} \)
A continuación un ejemplo para aplicar lo aprendido.