Es ahora el momento que definir operaciones sobre el conjunto de los números complejos. Puesto que los números reales están contenidos en \(\mathbb C\), el objetivo es definir las operaciones de manera que, restringidas al conjunto de los números reales, sigan siendo las operaciones de siempre.
Suma y resta de números números complejos
Dados dos números complejos \(z=a+bi\) y \(w=c+di\) se definen la suma y la resta de \(z\) y \(w\) como:
\(\hspace{2em} z+w=(a+c)+(b+d)i\)
\(\hspace{2em} z-w=(a-c)+(b-d)i\)
Multiplicación de números complejos
Dados dos números complejos \(z=a+bi\) y \(w=c+di\), podemos multiplicarlos de la siguiente manera:
\(\hspace{2em} z\cdot w=(a+bi)\cdot(c+di)=\)
\(\hspace{2em}\hspace{2em} =ac+adi+bci+bdi^2=\)
\(\hspace{2em}\hspace{2em}=ac+adi+bci-bd=\)
\(\hspace{2em} \hspace{2em} =ac-bd+(ad+bc)i=\)
\(\hspace{2em}\hspace{2em} =(ac-bd)+(ad+bc)i\)
Multiplicación de un número complejo por su conjugado:
\(\hspace{2em} z\cdot \overline z=(a+bi)\cdot(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2\in\mathbb R\)
Observación:
Se ha obtenido la expresión del producto de dos números complejos aplicando la propiedad distributiva. En consecuencia, también pueden utilizarse las fórmulas de las identidades notables cuando sea oportuno, como hemos hecho en el caso del producto de un número complejo por su conjugado.
División de números complejos
Dados dos números complejos \(z=a+bi\) y \(w=c+di\) podemos calcular \(\displaystyle\frac z w\) multiplicando numerador y denominador por el conjugado de \(w\):
\(\hspace{2em} \displaystyle\frac z w=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\)
\(\hspace{2em} \displaystyle =\frac {ac-adi+bci-bdi^2}{c^2+d^2}=\)
\(\hspace{2em} \displaystyle =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\)
Propiedades de los números complejos
\(\bullet\) Propiedad asociativa de la suma:
\(\hspace{2em} z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3\) \(\hspace{1em} \forall z_1,z_2,z_3\in\mathbb C\)
\(\bullet\) Propiedad conmutativa de la suma:
\(\hspace{2em} z_1+z_2=z_2+z_1\) \(\hspace{1em} \forall z_1,z_2\in\mathbb C\)
\(\bullet\) Elemento neutro:
\(\hspace{2em} 0+z=z+0\) \(\hspace{1em} \forall z\in\mathbb C\)
\(\bullet\) Elemento opuesto:
\(\hspace{2em}\)Para cada \(z\in\mathbb C\) existe \(-z\) tal que \(z+(-z)=0\)
\(\bullet\) Propiedad asociativa del producto:
\(\hspace{2em} z_1\cdot(z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3\) \(\hspace{1em} \forall z_1,z_2,z_3\in\mathbb C\)
\(\bullet\) Propiedad conmutativa del producto:
\(\hspace{2em} z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1\) \(\hspace{1em} \forall z_1,z_2\in\mathbb C\)
\(\bullet\) Elemento unidad:
\(\hspace{2em} 1\cdot z=z\cdot 1=z\) \(\hspace{1em} \forall z\in\mathbb C\)
\(\bullet\) Elemento inverso:
\(\hspace{2em}\)Para cada \(z\in\mathbb C\setminus\{0\}\) existe \(z^{-1}\in\mathbb C\) tal que \(z\cdot z^{-1}=1\)
\(\hspace{2em}\)Si \(z=a+bi\), \(\hspace{1em} z^{-1}=\displaystyle\frac 1{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac a {a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\)
\(\bullet\) Propiedad distributiva:
\(\hspace{2em} z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3\) \(\hspace{1em}\forall z_1,z_2,z_3\in\mathbb C\)
Estas propiedades confieren a \(\mathbb C\), al igual que \(\mathbb R\), la estructura de cuerpo.