Para calcular probabilidades correspondientes a una variable aleatoria \(X\sim N(\mu,\sigma)\) se recurre a la tipificación de la variable, que consiste en transformar la variable \(X\) en una variable \(Z\sim N(0,1)\) mediante:
\(Z=\displaystyle \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)
De esta manera, la probabilidad \(P(a \le X \le b)\) se puede expresar en términos de la variable tipificada \(Z\) como:
\(P(a\le X\le b)=P\left(\displaystyle \frac{a-\mu}\sigma<z<\frac{b-\mu}\sigma \right)\)
Ejemplos: Para una variable aleatoria continua \(X\sim N(5,3)\) calcula las siguientes probabilidades:
a) \(P(X<9)\)
\(P(X<9)=P\left(Z<\displaystyle\frac{9-5}3\right)=\)
\(=P(Z<1.33)=0.9082\)
b) \(P(X<2)\)
\(P(X<2)=P\left(Z<\displaystyle\frac{2-5}3\right)=P(Z<-1)=\)
\(=P(Z>1)=1-P(Z\le 1)=\)
\(=1-\Phi(1)=1-0.8413=0.1587\)
c) \(P(X>6)\)
\(P(X>6)=P\left(Z>\displaystyle\frac{6-5}3\right)=P(Z>0.33)=\)
\(=1-P(Z\le 0.33)=1-0.6293=0.3707\)
d) \(P(X>3)\)
\(P(X>3)=P\left(Z>\displaystyle\frac{3-5}3\right)=P(Z>-0.66)=\)
\(=P(Z<0.66)=\Phi(0.66)=0.7454\)
e) \(P(5.6<x<7.4)\)
\(P(5.6<x<7.4)=P\left(\displaystyle\frac{5.6-5}3<z<\displaystyle\frac{7.4-5}3\right)=\)
\(p\left(\displaystyle\frac{5.6-5}3<z<\displaystyle\frac{7.4-5}3\right)=\)
\(=P(0.2<z<0.8)=\)
\(=P(Z<0.8)-P(Z\le 0.2)=\)
\(=\Phi(0.8)-\Phi(0.2)=0.7881-0.5793=0.2088\)
f) \(P(4<x<10)\)
\(P(4<x<10)=p\left(\displaystyle\frac{4-5}3<z<\displaystyle\frac{10-5}3\right)=\)
\(=p\left(\displaystyle\frac{4-5}3<z<\displaystyle\frac{10-5}3\right)=\)
\(=P(-0.33<z<1.67)=\)
\(=P(Z<1.67)-P(Z\le -0.33)=\)
\(=\Phi(1.67)-P(Z\ge 0.33)=\)
\(=\Phi(1.67)-(1-P(Z\le 0.33))=\)
\(=\Phi(1.67)-1+\Phi(0.33)=\)
\(=0.9525-1+0.6293=0.5818\)
g) \(P(1<x<3)\)
\(P(1<x<3)=p\left(\displaystyle\frac{1-5}3<z<\displaystyle\frac{3-5}3\right)=\)
\(=p\left(\displaystyle\frac{1-5}3<z<\displaystyle\frac{3-5}3\right)=\)
\(=P(-1.33<z<-0.67)=\)
\(=P(0.67<z<1.33)=\)
\(=P(Z<1.33)-P(Z\le 0.67)=\)
\(=\Phi(1.33)-\Phi(0.67)=\)
\(=0.9082-0.7486=0.1596\)