Considerando una variable cuantitativa continua, podemos construir un histograma a partir de una muestra de datos, el cual representa gráficamente la distribución de dichos datos.
En el siguiente applet de GeoGebra se muestra el histograma correspondiente a la estatura de un grupo de personas adultas.
Observamos lo siguiente:
- Cada barra del histograma tiene un área igual a la frecuencia relativa del intervalo correspondiente (o un área igual a la probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo, suponiendo que se ha hecho tender el número de datos de la muestra a \(+\infty\)). Se cumple, por tanto, que la suma de las áreas de cada barra del histograma es 1.
- A medida que se reduce la longitud de los intervalos del histograma, la parte superior de las barras del histograma se aproximan cada vez más a una curva. El área bajo esta curva también es igual a 1.
Las distribuciones de probabilidad de variable continua pueden entenderse como idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. La curva a la que se aproximan las barras del histograma se denomina función densidad de probabilidad, la cual es útil para describir la probabilidad de una variable aleatoria continua.
Propiedades de la función densidad de probabilidad \(f\):
- \(f(x)\ge 0\hspace{1em} \forall x\in\mathbb R\).
- El área bajo la gráfica de la función \(y=f(x)\) es igual a 1.
- La probabilidad de que la variable tome un valor en el intervalo \([a,b]\) es el área bajo la gráfica de la función en ese intervalo:
- \(P(X=a)=0\) (Observa que la probabilidad de que \(X\) tome un valor concreto es 0 al ser el área de un segmento)
EJEMPLO 1
Considera la función \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac 1 4 & \mbox{si } 0\le x\le k \\ 0 & \mbox{en otro caso}\end{array}\right.\)
Calcula:
a) El valor de \(k\) para que \(f\) sea una función densidad de probabilidad.
b) \(P(1\le X\le 3)\)
c) \(P(-1\le X\le 1)\)
d) \(P(2\le X\le 5)\)
e) \(P(X=\pi)\)
Solución
a)
Para que \(f\) sea una función densidad de probabilidad se necesita que el área bajo la gráfica de la función sea 1. Por tanto:
\(k\cdot 1/4=1 \Longrightarrow k=4\)
b)
\(P(1\le X \le 3)=\displaystyle 2\cdot \frac 1 4=\frac 1 2\)
c)
\(P(-1\le X \le 1)=1\cdot \displaystyle \frac 1 4=\frac 1 4\)
d)
\(P(2\le X \le 5)=2\cdot \displaystyle \frac 1 4=\frac 1 2\)
e)
\(P(X=\pi)=0\)
EJEMPLO 2
Dada la función \(\hspace{1em} f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} k-x & \mbox{si } 0\le x \le k \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.\hspace{1em} \) calcula:
a) El valor de \(k\) para que \(f\) sea una función densidad de probabilidad.
b) \(P(-1<x<1)\)
c) \(P(X>1)\)
d) \(P(X<0.5)\)
e) \(P(X=0)\)
Solución
a)
El área bajo la gráfica de la función debe ser 1:
\(\displaystyle \frac{k\cdot k} {2}=1 \Longrightarrow k^2=2
\Longrightarrow k=\sqrt{2}\)
b)
\(P(-1<x<1)=p(0<x<1)=\displaystyle \frac="" {\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 ="" }2\cdot="" 1="\)</p"> </x<1)=p(0<x<1)=\displaystyle>
\(\hspace{2em}\hspace{2em}=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-1}2\)
c)
\(P(X>1)=1-P(X\le 1)=\displaystyle 1-\frac{2\sqrt{2}-1}2=\frac{2-2\sqrt{2}+1}2=\frac{3-2\sqrt{2}}2\)
d)
\(P(X<0.5)=P(0<x<0.5)=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-0.5}2\cdot 0.5=\)
\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-0.5}2\)\(\hspace{2em}\hspace{2em} =\displaystyle\frac{2\sqrt{2}-0.5}2\cdot 0.5=\frac{4\sqrt{2}-1}{4}\cdot \frac 1 2\)
\(\hspace{2em}\hspace{2em} =\displaystyle\frac{4\sqrt{2}-1}8\)
e) \(P(X=0)=0\)
Función distribución
Se define la función distribución de una variable aleatoria de la siguiente manera:
\(F(x)=P(X\le x)\)
La funcion de distribución verifica las siguientes propiedades:
- \(0\le F(x)\le 1 \hspace{2em} \forall x\in\mathbb R\)
- \(F(x)\) es una función no decreciente
- \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0\)
- \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} F(x)=1\)
EJEMPLO 3
Halla la función distribución de la variable aleatoria del EJEMPLO 1, en la que la función densidad de probabilidad viene dada por:
\(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac 1 4 & \mbox{si } 0\le x\le 4 \\ 0 & \mbox{en otro caso}\end{array}\right.\)
Represéntala gráficamente.
Solución
\(F(x)=P(X\le x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x<0 \\ \displaystyle \frac x 4 & \mbox{si } 0\le x \le 4 \\ 1 & \mbox{ si }x>4 \end{array} \right.\)
EJEMPLO 4
Halla la función distribución correspondiente a la función densidad de probabilidad del EJEMPLO 2, es decir:
\(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{2}-x & \mbox{ si } 0 \le x \le\sqrt{2} \\ 0 & \mbox{ en otro caso} \end{array} \right.\)
Solución
\(F(x)=P(X\le x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x<0 \\ \displaystyle \frac {\sqrt{2}-x+\sqrt{2}} 2 \cdot x & \mbox{si } 0\le x \le \sqrt{2} \\ 1 & \mbox{ si }x>\sqrt{2} \end{array} \right.=\)
\(\hspace{2em} =\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x<0 \\ \displaystyle \frac {2\sqrt{2}x-x^2} 2 & \mbox{si } 0\le x \le \sqrt{2} \\ 1 & \mbox{ si }x>\sqrt{2} \end{array} \right.\)
