La distribución normal es una distribución de probabilidad de variable continua en la que la función densidad de probabilidad viene dada por:
\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
donde \(\mu\) y \(\sigma\) representan, respectivamente, la media y la desviación típica de la variable.
Si una variable \(X\) sigue una distribución normal, lo expresamos como \(X\sim N(\mu,\sigma)\).
La distribución normal surge en situaciones en las que el resultado es la suma de muchos factores independientes, lo que explica su frecuente aparición en contextos diversos, como, por ejemplo:
- las estaturas de las personas
- los errores de medición
- las puntuaciones en exámenes estandarizados
El aspecto de la gráfica de la función densidad de probabilidad de una distribución normal cambia dependiendo de los valores de \(\mu\) y \(\sigma\), como se ilustra en el applet de GeoGebra:
- Modificar el valor de \(\mu\) desplaza la gráfica de la función densidad de probabilidad horizontalmente.
- Modificar el valor de \(\sigma\) afecta al ancho y a la altura de curva:
- Si disminuye \(\sigma\), la curva se contrae horizontalmente y se estira verticalmente.
- Si aumenta \(\sigma\), la curva se estira horizontalmente y se contrae verticalmente.
En el applet puede comprobarse, además, que en una distribución normal la probabilidad de que la variable se encuentre a menos de 3 desviaciones típicas de la media es prácticamente 1:
- \(P( \mu-\sigma<x<\mu+\sigma)=0.6826 \Leftrightarrow P(|x-\mu|<\sigma)=0.6826\)
- \(P( \mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)=0.9544 \Leftrightarrow P(|x-\mu|<2\sigma)=0.9544\)
- \(P( \mu-3\sigma<x<\mu+3\sigma)=0.9974 \Leftrightarrow P(|x-\mu|<3\sigma)=0.9974\)