El cálculo de probabilidades en una distribución binomial se basa en la siguiente fórmula:
\(P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k}p^kq^{n-k}\)
En el applet de GeoGebra mostrado a continuación, se representa la distribución de probabilidad de una binomial \(B(n,p)\) y se compara con una distribución normal \(N(np,\sqrt{npq})\) :
Observaciones:
1) Las dos distribuciones tienen un gran parecido, especialmente para valores de \(n\) grandes y valores de \(p\) intermedios.
2) En caso de que haya bastante parecido, si \(X\sim B(n,p)\) y \(X'\sim N(np,\sqrt{npq})\), la probabilidad de que \(X\) tome ciertos valores podría obtenerse mediante las aproximaciones siguientes:
\(P(X=k)\approx P(k-0.5<x'<k+0.5)\)
\(P(X>k)\approx P(X'>k+0.5)\)
\(P(X\ge k)\approx P(X'>k-0.5)\)
\(P(X<k)\approx p(x'<k-0.5)\)
\(P(X\le k)\approx P(X'<k+0.5)\)
\(P(a<x<b)\approx p(a+0.5<x'<b-0.5)\)
\(P(a\le X\le b)\approx P(a-0.5<x'<b+0.5)\)
donde \(k,a,b\in\{0,1\dots,n\}\)
Un criterio comúnmente usado y que garantiza que las aproximaciones anteriores son razonablemente buenas es el siguiente:
\(\boxed{ \ \\ \hspace{1em} np\ge 5 \hspace{1em} \\ \ \\ \hspace{1em} nq\ge 5\hspace{1em} \\}\)
Lo ideal es calcular probabilidades en la binomial con la fórmula correspondiente, pero en situaciones en las que \(n\) es muy grande suelen aparecer dificultades:
- Calcular \(\displaystyle \binom{n}{k}\) puede no ser viable en una calculadora convencional cuando \(n\) es muy grande.
- Calcular \(P(a<x<b)\) puede implicar sumar una cantidad excesiva de términos, lo cual resulta extremadamente laborioso y poco práctico.
En tales situaciones, el cálculo aproximado de probabilidades con la normal se convierte en una alternativa idónea, ya que las condiciones \(np\ge 5\) y \(nq\ge 5\) se cumplen de manera automática, garantizando que la aproximación sea válida y precisa.
EJEMPLO
Lanzamos un dado 500 veces y consideramos la variable aleatoria \(X=\)"Número de veces que se obtiene más de 2 en el dado". Halla las siguientes probabilidades:
a) \(P(X>300)\)
b) \(P(X<340)\)
c) \(P(250<x<350)\)
d) \(P(250\le X\le 350)\)
Solución
En este problema, \(X\sim B(n,p)\) con \(n=500\) y \(p=2/3\).
La media y la desviación típica toman los valores:
\(\mu=np=500\cdot 2/3=333.3\)
\(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{500\cdot 2/3\cdot 1/3}=10.54\)
Como \(np=500\cdot 2/3= 333.3\ge 5\) y \(nq=500\cdot 1/3=166.73\ge 5\), podemos aproximar las probabilidades de la binomial por las probabilidades de la normal.
Sea \(X' \sim N(333.3,10.54)\).
Variable tipificada: \(Z=\displaystyle \frac{X'-333.3}{10.54}\sim N(0,1)\)
a) \(P(X>300) \approx P(X'>300.5)=P\left(\displaystyle Z>\frac{300.5-333.3}{10.54}\right)=\)
\(=P(Z>-3.11)=P(Z<3.11)=\Phi(3.11)=0.9991\)
b) \(P(X<340)\approx P(X'<339.5)=P\left(\displaystyle Z<\frac{339.5-333.3}{10.54}\right)=\)
\(=P(Z<0.59)=\Phi(0.59)=0.7224\)
c) \(P(250<x<350)\approx p(250.5<x'<349.5)=P\left(\displaystyle \frac{250.5-333.3}{10.54}<Z<\frac{349.5-333.3}{10.54}\right)=\)
\(=P(-7.86<z<1.54)=p(z<1.54)-p(z\le -7.86)=\)
\(=P(Z<1.54)-P(Z\ge 7.86)=P(Z<1.54)-(1-P(Z<7.86))=\)
\(=\Phi(1.54)-1+\Phi(7.86)=0.9382-1+1=0.9382\)
d) \(P(250\le X\le 350)\approx P(249.5<x'<350.5)=p\left(\displaystyle \frac{249.5-333.3}{10.54}<z<\frac{350.5-333.3}{10.54}\right)=\)
\(=P(-7.95<z<1.63)=p(z<1.63)-p(z\le -7.95)=\)
\(=P(Z<1.63)-P(Z\ge -7.95)=P(Z<1.63)-(1-P(Z<7.95))=\)
\(=\Phi(1.63)-1+\Phi(7.95)=0.9484-1+1=0.9484\)