Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso elemental de una experiencia aleatoria un número.
La variable aleatoria se denota con una letra, por ejemplo \(X\).
Tipos de variable aleatoria:
- Variable aleatoria discreta: Toma valores aislados.
- Variable aleatoria continua: Toma cualquier valor en un intervalo.
Ejemplos:
a) Se lanzan tres monedas y se anota el número de caras que se obtienen.
Es una variable aleatoria discreta.
\(X=\{0,1,2,3\}\)
b) Se anota la estatura de una persona elegida al azar de entre un grupo de personas.
Es una variable aleatoria continua.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria \(X\):
Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria \(X\) es el resultado de asignar una probabilidad \(p_i\) a cada valor \(x_i\) de la variable.
\(P(X=x_i)=p_i\)
En forma de tabla:
| \(x_i\) | \(p(x_i)=p_i\) |
| \(x_1\) | \(p_1\) |
| \(x_2\) | \(p_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_k\) | \(p_k\) |
| \(1\) |
Observaciones:
1) Las probabilidades \(p_i\) están comprendidas entre \(0\) y \(1\): \(\hspace{1em} 0\le p_i \le 1\)
2) \(\displaystyle \sum_{i=1}^k p_i=p_1+p_2+\dots +p_k=1\)
3) La distribución de probabilidad es una idealización teórica de una distribución de frecuencias.
EJEMPLO
Se lanzan dos monedas y se considera la variable aleatoria correspondiente al número de caras obtenidas. Haz la tabla de distribución de probabilidades.
Solución
Variable aleatoria: \(X=\{0,1,2\}\)
\(C_1=\)"Se ha obtenido cara en la primera moneda"
\(C_2=\)"Se ha obtenido cara en la segunda moneda"
\(P(X=0)=\displaystyle P(\overline C_1\cap \overline C_2)=P(\overline C_1)\cdot P(\overline C_2)=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2=\frac 1 4\)
\(P(X=1)=P((C_1\cap\overline C_2) \cup (\overline C_1\cap C_2))=\)
\(=P(C_1\cap\overline C_2)+P(\overline C_1\cap C_2)=\)
\(=P(C_1)\cdot P(\overline C_2)+P(\overline C_1)\cdot P(C_2)=\)
\(\displaystyle=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2 +\frac 1 2 \cdot \frac 1 2=\frac 1 4 +\frac 1 4 = \frac 1 2\)
\(P(X=2)=\displaystyle P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\cdot P(C_2)=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2=\frac 1 4\)
En forma de tabla:
| \(\ x_i \ \) | \(\ p_i \ \) |
| \(0\) | \(1/4\) |
| \(1\) | \(1/2\) |
| \(2\) | \(1/4\) |
| \(1\) |
Función de distribución
La función de distribución de una variable aleatoria \(X\) es una función \(F\) definida de la siguiente manera:
\(F(x)=P(X\le x)\)
Suponiendo que la variable toma \(k\) valores distintos \(x_1\), \(x_2\), \(\dots\), \(x_k\), la función de distribución es una función constante a trozos que toma:
- el valor \(0\) en el intervalo \((-\infty,x_1)\)
- el valor \(F(x_i)=\displaystyle\sum_{j=1}^i p_j\) en los intervalos \([x_i,x_{i+1})\) con \(1
- el valor \(1\) en el intervalo \([x_k,+\infty)\)
Observaciones:
1) \(0\le F(x)\le 1 \hspace{2em} \forall x\in\mathbb R\)
2) \(F\) es una función no decreciente.
3) \(F\) tiene discontinuidades de salto finito en \(x=x_i\). El valor del salto es \(p_i\).
EJEMPLO
Continuando con el problema anterior de las dos monedas, escribe la expresión analítica de la función de distribución correspondiente a la variable "número de caras" como función definida a trozos.
Solución
\(F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } x<0 \\ \displaystyle \frac 1 4 & \mbox{si } 0\le x<1 \\ \displaystyle\frac 3 4 & \mbox{si } 1\le x<2 \\ 1 & \mbox{si }x\ge 2 \end{array}\right.\)