DEFINICIONES
Una experiencia dicotómica es una experiencia aleatoria en la que se considera un suceso \(A\), al que llamamos éxito, y su contrario, al que llamamos fracaso.
Sean \(p\) y \(q\) las probabilidades de \(A\) y su contrario, es decir:
\(p=P(A)\)
\(q=P(A^c)=1-p\)
En una experiencia dicotómica consideramos ahora una variable aleatoria \(X\) que toma el valor 1 si sucede \(A\) y el valor 0 si no sucede \(A\), es decir:
\(P(X=1)=p\)
\(P(X=0)=q\)
A la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria se la denomina distribución de Bernoulli.
Parámetros de la distribución de Bernoulli
| \(x_i\) | \(p_i\) | \(x_i\cdot p_i\) | \(x_i^2\cdot p_i\) |
| \(0\) | \(q\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(p\) | \(p\) | \(p\) |
| \(1\) | \(p\) | \(p\) |
Media: \(\hspace{1em} \mu=\sum x_i\cdot p_i=p\)
Varianza: \(\hspace{1em} \sigma^2=\sum x_i^2 p_i-\mu^2=\)
\(=p-p^2=p(1-p)=pq\)
Desviación típica: \(\hspace{1em}\sigma=\sqrt{pq}\)
EJEMPLO 1
Se lanza un dado y se considera como éxito el suceso \(A=\)"Obtener múltiplo de tres". Halla la media y la desviación típica de la distribución de Bernoulli correspondiente.
Solución
\(A=\{3,6\}\)
\(p=P(A)=\displaystyle\frac 2 6=\frac 1 3\), \(\hspace{1em} \displaystyle q=P(A^c)=\frac 2 3\)
Media: \(\hspace{1em}\mu=p=\displaystyle \frac 1 3\)
Desviación típica: \(\displaystyle\hspace{1em} \sigma=\sqrt{pq}=\sqrt{\frac 1 3 \cdot \frac 2 3}=\sqrt{\frac 2 9}=\frac {\sqrt{2}} 3\)
EJEMPLO 2
En un examen de opción múltiple, un estudiante tiene un 25% de probabilidad de adivinar correctamente una pregunta al azar. Considerando como éxito que el estudiante acierte la pregunta, calcula la media y la desviación típica de la distribución de Bernoulli correspondiente.
Solución
\(A=\)"El estudiante acierta la pregunta respondida al azar"
\(p=P(A)=0.25\), \(\hspace{2em} q=P(A^c)=0.75\)
Media: \(\hspace{1em} \mu=p=0.25\)
Desviación típica: \(\hspace{1em} \sigma=\sqrt{p\cdot q}=\sqrt{0.25\cdot 0.75}=0.433\)