La distribución binomial es la distribución de probabilidad de a la variable aleatoria \(X=\)"Número de éxitos" que resulta al realizar \(n\) experiencias dicotómicas independientes, donde cada una de ellas tiene una probabilidad de éxito \(p\) y probabilidad de fracaso \(q=1-p\).
Para indicar que \(X\) sigue una distribución binomial, escribimos \(X\sim B(n,p)\)
Observación:
Si \(X\) sigue una distribución de Bernoulli, entonces \(X\sim B(1,p)\).
En una distribución binomial la variable puede tomar los valores \(0\), \(1\), \(2\), \(3\dots n\).
Las probabilidades de que la variable tome cada uno de estos valores vienen dadas por:
\(P(X=k)=\displaystyle\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\) \(\hspace{2em} k\in\{0,1,2,\dots n\}\)
Ejemplo ilustrativo
En una urna hay tres bolas rojas, y una bola azul. Se extraen tres bolas con reemplazamiento. Halla la probabilidad de extraer dos bolas rojas.
\(R=\)"Se obtiene una bola roja en una extracción"
\(A=\)"Se obtiene una bola azul en una extracción"
\(p=P(R)=3/4=0.75\), \(\hspace{2em} q=P(R^c)=P(A)=1/4=0.25\)
Para extraer dos bolas rojas, hay tres secuencias posibles:
1) \(RRA\hspace{2em}\) Probabilidad: \(\hspace{1em} 0.75\cdot 0.75 \cdot 0.25=0.75^2\cdot 0.25\)
2) \(RAR\hspace{2em}\) Probabilidad: \(\hspace{1em} 0.75\cdot 0.25 \cdot 0.75=0.75^2\cdot 0.25\)
3) \(ARR\hspace{2em}\) Probabilidad: \(\hspace{1em} 0.25\cdot 0.75 \cdot 0.75=0.75^2\cdot 0.25\)
Por tanto, si \(X=\)"Número de bolas rojas extraídas", entonces \(P(X=2)=3\cdot 0.75^2\cdot 0.25\)
Observa que 3 es el número de formas de elegir dos lugares en una secuencia de tres elementos para asignar el color rojo, es decir, \(\displaystyle 3=\binom{3}{2}\) y el color azul en el lugar que queda.
En el caso general, \(\displaystyle \binom{n}{k}\) es el número de formas de elegir \(k\) lugares en una secuencia de \(n\) elementos para asignar un éxito a cada uno de esos \(k\) lugares y un fracaso a los demás lugares.
Parámetros:
Puede demostrarse lo siguiente:
Media: \(\hspace{1em} \mu=np\)
Varianza: \(\hspace{1em} \sigma^2=npq\)
Desviación típica: \(\hspace{1em} \sigma=\sqrt{npq}\)
EJEMPLO 1
En una binomial \(B(10,0.4)\) calcula:
a) La media
b) La desviación típica
c) \(P(X=0)\), \(P(X=3)\), \(P(X>1)\)
Solución
En una \(B(10,0.4)\) \(n=10\), \(p=0.4\) y \(q=1-p=0.6\)
a) \(\hspace{1em} \mu=n\cdot p=10\cdot 0.4=4\)
b) \(\hspace{1em} \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}=\sqrt{10\cdot 0.4 \cdot 0.6}=\sqrt{2.4}=1.549\)
c) \(\hspace{1em} P(X=0)=\displaystyle\binom{10}{0}0.4^0 \cdot 0.6^{10}=6.05\cdot 10^{-3}\)
\(P(X=3)=\displaystyle\binom{10}{3}0.4^3 \cdot 0.6^{7}=0.215\)
\(P(X>1)=1-P(X\le 1)=1-P(X=0)-P(X=1)=\)
\(\hspace{2em}=1-\displaystyle\binom{10}{0}0.4^0 \cdot 0.6^{10}-\displaystyle\binom{10}{1}0.4^1 \cdot 0.6^{9}=0.9536\)
EJEMPLO 2
En un parque de atracciones, la probabilidad de que un viajero compre la foto al montarse en la montaña rusa es del 10%. En cada viaje de la montaña rusa se suben 24 viajeros. Calcula la probabilidad de que:
a) Ningún viajero compre una foto.
b) Al menos un viajero compre una foto.
c) Más de 3 viajeros compren una foto.
¿Cuántos viajeros se espera que compren la foto?
Solución
El número de viajeros que compra la foto sigue una distribución binomial \(B(24,0.1)\) y, por tanto,
\(n=24\)
\(p=0.1\)
\(q=1-p=0.9\)
a) \(P(X=0)=\displaystyle\binom{24}{0}0.1^{0} \cdot 0.9^{24}=0.0798\)
b) \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0.0798=0.920\)
c) \(P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)\)
\(P(X=0)=0.0798\)
\(P(X=1)=\displaystyle\binom{24}{1}0.1^{1} \cdot 0.9^{23}=0.213\)
\(P(X=2)=\displaystyle\binom{24}{2}0.1^{2} \cdot 0.9^{22}=0.272\)
\(P(X=3)=\displaystyle\binom{24}{3}0.1^{3} \cdot 0.9^{21}=0.221\)
\(P(X>3)=1-0.0798-0.213-0.272-0.221=0.2142\)
El número esperado de viajeros que compran la foto es \(\mu=np=24\cdot 0.1=2.4\) viajeros