Las experiencias compuestas son aquellas que se desarrollan en varias etapas.
Si en una primera etapa sucede un suceso \(A\) y en una segunda etapa sucede un suceso \(B\), podemos calcular la probabilidad \(A\cap B\) a partir de la fórmula de la probabilidad condicionada:
\(\overset{P(A)}{\longrightarrow} A \overset{P(B/A)}{\longrightarrow} B\) \(\hspace{2em} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)\)
Pueden darse dos situaciones:
1) \(P(B/A)=P(B)\): en este caso decimos que \(A\) y \(B\) son sucesos independientes y la probabilidad de la intersección viene dada por:
\(\hspace{2em} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
2) \(P(B/A)\cancel{=} P(B)\): en este caso decimos que \(A\) y \(B\) son dependientes, lo que significa que la ocurrencia de uno influye en la probabilidad del otro.
A la hora de calcular probabilidades en una experiencia compuesta, además de discernir si los sucesos son dependientes o independientes, resulta útil apoyarse en un diagrama de árbol para organizar y visualizar tanto los posibles resultados como sus probabilidades.
EJEMPLO 1
En una urna hay 7 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extrae una bola, se devuelve a la urna y a continuación se extrae una segunda bola (dos extracciones con reemplazamiento). Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Extraer una segunda bola blanca sabiendo que la primera ha sido blanca.
b) Extraer dos bolas blancas.
Solución
a) Extraer una segunda bola blanca sabiendo que la primera ha sido blanca.
Consideremos los sucesos:
\(B_1=\)"La primera bola es blanca"
\(B_2=\)"La segunda bola es blanca"
Son sucesos independientes y por tanto:
\(P(B_2/B_1)=P(B_2)=7/10\)
b) Extraer dos bolas blancas.
Considerando además los sucesos
\(N_1=\)"La primera bola es negra"
\(N_2=\)"La segunda bola es negra"
el diagrama de árbol de la experiencia aleatoria queda de la siguiente manera:
\(P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2)=\displaystyle \frac 7 {10} \cdot \frac 7 {10}=\frac {49} {100}\)
EJEMPLO 2
En una urna hay 7 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extrae una bola y a continuación se extrae una segunda bola (dos extracciones sin reemplazamiento). Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:
a) Extraer una segunda bola blanca sabiendo que la primera ha sido blanca.
b) Extraer dos bolas blancas.
Solución
a) Extraer una segunda bola blanca sabiendo que la primera ha sido blanca.
Consideremos los sucesos:
\(B_1=\)"La primera bola es blanca"
\(B_2=\)"La segunda bola es blanca"
Son sucesos dependientes y, por tanto, que la primera bola sea blanca afecta a la probabilidad de que la segunda también lo sea. Si la primera bola es blanca, la configuración de la urna es la siguiente:
Y la probabilidad pedida es \(P(B_2/B_1)=6/9=2/3\)
b) Extraer dos bolas blancas.
Considerando además los sucesos
\(N_1=\)"La primera bola es negra"
\(N_2=\)"La segunda bola es negra"
el diagrama de árbol de la experiencia aleatoria queda de la siguiente manera:
\(P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2/B_1)=\displaystyle \frac 7 {10} \cdot \frac 2 {3}=\frac {7} {15}\)