Probabilidad condicionada
Dados dos sucesos \(A\) y \(B\), se llama probabilidad de \(B\) condicionada a \(A\), y se escribe \(P(B/A)\), a la probabilidad de \(B\) cuando sabemos que ha ocurrido \(A\).
Suponiendo que \(P(A)\cancel{=} 0\), la probabilidad de \(B\) condicionada a \(A\) puede obtenerse mediante la siguiente fórmula:
\( \hspace{2em} P(B/A)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
Observaciones
1) Calcular una probabilidad condicionada equivale a calcular una probabilidad en un espacio muestral reducido al suceso respecto al que se condiciona.
Para hallar \(P(B/A)\), el espacio muestral en este caso sería \(E'=A\). Suponiendo que se dan las circunstancias para poder aplicar la regla de Laplace y que en \(E\) hay \(n\) casos posibles, tendríamos lo siguiente:
\(\hspace{2em} P(B/A)=\displaystyle\frac{\mbox{número de casos favorables a }B \mbox{ en } E'}{\mbox{número total de casos en }E'}\) \(=\displaystyle\frac{\mbox{número de casos en } A\cap B } {\mbox{número de casos en } A}=\frac{\displaystyle\frac{\mbox{número de casos en } A\cap B}n } {\displaystyle\frac{\mbox{número de casos en } B}n }=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
con lo que vemos que la fórmula de la probabilidad condicionada tiene sentido.
2) Si conocemos \(P(A)\) y \(P(B/A)\) podemos calcular la probabilidad de la intersección mediante:
\(\hspace{2em} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B/A)\)
La generalización de este resultado se conoce como teorema de la probabilidad compuesta.
En el caso de tres sucesos \(A\), \(B\), \(C\) se tiene: \(\hspace{2em} P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B/A)\cdot P(C/A\cap B)\)
Y con \(n\) sucesos \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\): \(\hspace{2em} P(A_1\cap A_2\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2/A_1)\cdot P(A_3/A_1\cap A_2)\cdot\ldots \cdot P(A_n/A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_{n-1})\)
EJEMPLO
En una caja hay 5 galletas con forma redonda de las cuales 3 son de chocolate y 2 sin chocolate; además hay 5 galletas con forma rectangular de las cuales una es de chocolate y 4 sin chocolate.
Extraemos una galleta de la caja al azar y consideramos los siguientes sucesos:
\(A=\)"Extraer una galleta de chocolate"
\(B=\)"Extraer una galleta redonda"
\(C=\)"Extraer una galleta rectangular"
a) Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores.
b) Calcula las probabilidades condicionadas \(P(A/B)\) y \(P(A/C)\) aplicando la regla de Laplace en un espacio muestral reducido.
c) Calcula las probabilidades \(P(A\cap B)\) y \(P(A\cap C)\) de dos formas: directamente y a partir de la fórmula de la probabilidad condicionada.
Solución
a) Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores.
\(P(A)=\displaystyle\frac 4 {10}=\frac 2 5\)
\(P(B)=\displaystyle\frac 5 {10}=\frac 1 2\)
\(P(C)=\displaystyle\frac 1 {10}=\frac 1 2\)
b) Calcula las probabilidades condicionadas \(P(A/B)\) y \(P(A/C)\) aplicando la regla de Laplace en un espacio muestral reducido.
\(P(A/B)=\displaystyle \frac 3 5\)
\(P(A/C)=\displaystyle\frac 1 5\)
c) Calcula las probabilidades \(P(A\cap B)\) y \(P(A\cap C)\) de dos formas: directamente y a partir de la fórmula de la probabilidad condicionada.
Directamente:
\(P(A\cap B)=\displaystyle \frac {3} {10} \hspace{2em}\) (3 galletas redondas y de chocolate de un total de 10)
\(P(A\cap C)=\displaystyle \frac {1} {10}\hspace{2em}\) (1 galleta rectangular de chocolate de un total de 10)
A partir de la fórmula de la probabilidad condicionada:
\(\displaystyle {P(A\cap B)}=P(B)\cdot P(A/B)=\frac 1 2 \cdot \frac 3 {5}=\frac 3 {10}\)
\(\displaystyle {P(A\cap C)}=P(C)\cdot P(A/C)=\frac 1 2 \cdot \frac 1 {5}=\frac 1 {10}\)
Se obtienen los mismos valores, como es de esperar.