Probabilidad

La probabilidad de un suceso \(A\) es un número comprendido entre \(0\) y \(1\) que refleja el nivel de certeza de que el suceso \(A\) tenga lugar.

La probabilidad de \(A\) se denota mediante \(P(A)\).

• La certeza de que un suceso ocurra será mayor cuanto mayor sea su probabilidad.
• Si la probabilidad de un suceso es \(0\) significa que no puede ocurrir.
• Si la probabilidad de un suceso es \(1\) significa que va a ocurrir con toda certeza.

Propiedades de la probabilidad

• \(0\le P(A)\le 1\)
• \(P(\emptyset)=0\)
• \(P(E)=1\)
• \(P(\overline A)=1-P(A)\)
• \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

Considerando una experiencia aleatoria que se repite \(N\) veces, podemos definir los siguientes conceptos relacionados con un suceso \(A\):

Frecuencia absoluta del suceso \(A\): es el número de veces que se produce dicho suceso. Se denota con \(f(A)\)

Frecuencia relativa del suceso \(A\): es el cociente entre la frecuencia absoluta de \(A\) y el número de veces que se repite la experiencia aleatoria.

\(\hspace{2em} f_r(A)=\displaystyle\frac{f(A)}N\)

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números dice que la probabilidad de un suceso \(A\) es el límite de las frecuencias relativas del suceso cuando \(N\) tiende a infinito:

\(\hspace{2em} \displaystyle P(A)=\lim_{N\rightarrow +\infty} f_r(A)\)

Ejemplo: Se lanza una moneda muchas veces y se anota el número de veces que se obtiene cara o cruz para diferentes valores del número de lanzamientos. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

\(\begin{array}{l}C=\mbox{"Obtener cara"} \\ +=\mbox{"Obtener cruz"} \\ N\rightarrow \mbox{Número de veces que se lanza la moneda} \end{array}\) \(\hspace{2em} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N & f(C) & f(+) &  f_r(C) & f_r(+) \\ \hline 10 & 6 & 4 & 0.6 & 0.4 \\ \hline 100 & 55 & 45 & 0.55 & 0.45 \\ \hline 1000 & 510 & 490 & 0.51 & 0.49 \\ \hline  \end{array}\)

Vemos que las frecuencias relativas de \(C\) y \(+\) se aproximan cada vez más al valor 0.5 conforme aumenta el valor de \(N\).

Esto concuerda con la ley de los grandes números y con que \(P(C)=P(+)=0.5\).

La ley de los grandes números permite estimar probabilidades de sucesos en cualquier tipo de experiencia aleatoria.

En el caso de experiencias aleatorias regulares, es decir, aquellas en las que los sucesos elementales son equiprobables, puede ser de gran utilidad el siguiente resultado.

Regla de Laplace

En una experiencia aleatoria en la que los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso \(A\) viene dada por:

\(\hspace{2em} P(A)=\displaystyle\frac{\mbox{número de casos favorables a } A }{\mbox{número de casos posibles}}\)

Ejemplo: Se lanza un dado y se anota el resultado. Halla la probabilidad de obtener un número primo.