Conceptos básicos
Experiencia aleatoria: es aquella cuyo resultado depende del azar.
Ejemplos:
- Lanzar un dado y anotar el resultado
- Extraer una carta de una baraja y anotar la carta extraída
- Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz
Experiencia determinista: es aquella cuyo resultado queda determinado a partir de las condiciones en las que desarrolla la experiencia.
Ejemplos:
- Resolver una ecuación en concreto: cada vez que se resuelva la ecuación \(5x-1=9\) se obtendrá como solución \(x=2\)
- Realizar operaciones combinadas con números reales: al calcular \(2\cdot 5-4\cdot 3\) se obtiene siempre \(-2\) como resultado
- Calcular la superficie de una habitación a partir de sus dimensiones: si las dimensiones son \(3\mbox{m} imes 4\mbox{m}\) se obtiene siempre \(12\mbox{ m}^2\)
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.
Se suele denotar mediante la letra \(E\).
Ejemplos:
- Lanzamiento de una moneda: \(E=\{Cara,Cruz\}\)
- Lanzamiento de un dado: \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Suceso: un suceso es un subconjunto del espacio muestral \(E\).
Ejemplo: Al lanzar un dado, algunos ejemplos de sucesos son:
\(S_1=\{1,2,3\}\)
\(S_2=\{5\}\)
\(S_3=\{3,5\}\)
Tipos de sucesos
Los sucesos de un espacio muestral \(E\) pueden ser de diferentes tipos:
Sucesos elementales, individuales o casos: están formados por un único resultado del espacio muestral \(E\).
Ejemplo: al lanzar un dado, son sucesos elementales los siguientes:
\(A_1=\{1\}\), \(A_2=\{2\}\), \(A_3=\{3\}\)
\(A_4=\{4\}\), \(A_5=\{5\}\), \(A_6=\{6\}\)
Sucesos compuestos: están formados por varios sucesos elementales.
Ejemplo: al lanzar un dado, son sucesos compuestos los siguientes:
\(A=\)"Obtener un número par"\(=\{2,4,6\}\)
\(B=\)"Obtener más de 4"\(=\{5,6\}\)
Suceso seguro: es el que está formado por todos los sucesos elementales y, por tanto, siempre ocurre. Coincide con el espacio muestral \(E\).
Ejemplo: al lanzar un dado, el suceso seguro es \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\).
Suceso imposible: es el que no tiene ningún resultado y, por tanto, nunca ocurre. Se representa con el símbolo \(\emptyset\).
Ejemplo: al lanzar un dado, un ejemplo de suceso imposible es
\(C=\)"Obtener más de 10"
Operaciones con sucesos
Unión de dos sucesos
Se define la unión de los sucesos \(A\) y \(B\) de un espacio muestral como el suceso formado por todos los casos de \(A\) y todos los casos de \(B\).
Se representa mediante \(A\cup B\).
Intersección de sucesos
Se define la intersección de los sucesos \(A\) y \(B\) de un espacio muestral como el suceso formado por todos los casos que son al mismo tiempo de \(A\) y de \(B\).
Se representa mediante \(A\cap B\).
En relación con la intersección se define lo siguiente:
- Dos sucesos \(A\) y \(B\) son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible, es decir, \(A\cap B=\emptyset\). Esto quiere decir que los sucesos no pueden darse simultáneamente.
- Dos sucesos \(A\) y \(B\) son compatibles cuando hay algún caso en su intersección, es decir, \(A\cap B\cancel{=} \emptyset\).
Suceso complementario o contrario
Se llama suceso complementario o contrario de un suceso \(A\) al suceso formado por todos los casos del espacio muestral \(E\) que no están en \(A\).
Se representa mediante \(A^c\) o \(\overline{A}\).
Algunas propiedades:
- \(A\cup \overline A=E\)
- \(A\cap \overline A=\emptyset\)
- \(\overline{\overline A}=A\)
Ejemplo: Lanzamos un dado y anotamos su puntuación. Consideramos los sucesos \(A=\)"Obtener menos de 4" y \(B=\)"Obtener un múltiplo de tres". Halla los siguientes sucesos:
a) \(A\cup B\)
b) \(A\cap B\)
c) \(\overline A\)
d) \(\overline B\)
Solución
\(A=\)"Obtener menos de 4"\(=\{1,2,3\}\)
\(B=\)"Obtener un múltiplo de 3"\(=\{3,6\}\)
a) \(A\cup B=\{1,2,3,6\}\)
b) \(A\cap B=\{3\}\)
c) \(\overline A=\{4,5,6\}\)
d) \(\overline B=\{1,2,4,5\}\)