Definición:
El logaritmo en base \(a\) de un número \(x\) es el número al que hay que elevar la base para obtener \(x\).
\(\log_a x=n \iff a^n=x\)
Observación
Para que el logarítmo esté bien definido se requiere que \(a>0\) con \(a\cancel{=} 1\) y \(x>0\).
Ejemplos:
a) \(\log_2 16=4\hspace{1em}\) pues \(\hspace{1em} 2^4=16\)
b) \(\log_3 1=0\hspace{1em}\) pues \(\hspace{1em} 3^0=1\)
c) \(\log_5 \displaystyle\frac 1 {25}=-2\hspace{1em}\) pues \( \quad5^{-2}=\displaystyle\frac 1 {5^2}=\frac 1 {25}\)
d) \(\log_{10} 1000=3\hspace{1em}\) pues \(\hspace{1em} 10^3=1000\)
e) \(\log_4 1=0\hspace{1em} \) pues \(\hspace{1em} 4^0=1\)
Logaritmos especiales:
El logaritmo en base 10 se denomina logaritmo decimal y se denota mediante \(\log\), sin especificar la base:
\(\log x=\log_{10} x\)
El logaritmo en base \(e=2.7172...\) se denomina logaritmo neperiano y se denota mediante \(\ln\):
\(\ln x=\log_{e} x\)
Propiedades de los logaritmos
1) \(\log_a 1=0\)
2) \(\log_a a=1\)
3) Logaritmo del producto: \(\hspace{1em} \log_a (xy)=\log_a x +\log_a y\)
Ejemplo: Comprobemos que se verifica la propiedad anterior con \(\log_2 (4\cdot 8)\)
\(\log_2(4\cdot 8)= \log_2(32)=5\)
\(\log_2 4 +\log_2 8=2+3=5\)
Demostración
Sean \(m=\log_a x\) y \(n=\log_a y\)
Se tiene que \(a^m=x\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} a^n=y\)
Multiplicando:
\(a^m\cdot a^n=xy\)
\(a^{m+n}=xy\)
\(m+n=\log_a(xy)\)
\(\log_ax+\log_ay=\log_a(xy)\)
4) Logaritmo del cociente: \(\hspace{1em} \log_a \displaystyle\left(\frac x y\right)=\log_a x -\log_a y\)
Ejemplo: Comprobemos que se verifica la propiedad anterior con \(\log_3 \left(\displaystyle\frac {81}{27}\right)\)
\(\log_3 \left(\displaystyle\frac {81}{27}\right)= \log_3 3=1\)
\(\log_3 81 -\log_3 27=4-3=1\)
Demostración
Sean \(m=\log_a x\) y \(n=\log_a y\)
Se tiene que \(a^m=x\hspace{1em}\) y \(\hspace{1em} a^n=y\)
Dividiendo:
\(\displaystyle\frac{a^m} {a^n}=xy\)
\(a^{m-n}=xy\)
\(m-n=\log_a \left(\displaystyle\frac x y \right)\)
\(\log_ax-\log_ay=\log_a \left(\displaystyle\frac x y \right)\)
5) Logaritmo de una potencia: \(\hspace{1em} \log_a x^n=n\log_a x\)
Ejemplo: Comprueba que se verifica la propiedad anterior con \(\log_5 25^3\)
\(\log_5 25^3=\log_5 (5^2)^3=\log_5 5^6=6\)
\(3\log_5 25=3\cdot 2=6\)
Demostración
Sea \(m=\log_a x\)
Se tiene que \(a^m=x\)
Elevando a \(n\):
\((a^m)^n=x^n\)
\(a^{mn}=x^n\)
\(mn=\log_a x^n\)
\(n\log_a x=\log_a x^n\)
6) Logaritmo de una raíz: \(\hspace{1em} \log_a\sqrt[n]{x}=\displaystyle \frac 1 n \log_a x\)
Ejemplo: Comprueba que se verifica la propiedad anterior con \(\log_2 \sqrt{16}\)
\(\log_2 \sqrt{16}=\log_2 4=2\)
\(\displaystyle \frac 1 2 \log_2 16=\frac 1 2 \cdot 4=2\)
7) Cambio de base: \(\hspace{1em} \log_a x=\displaystyle \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
Ejemplo: Halla \(\log_2 40\) con la calculadora utilizando el logaritmo neperiano y la fórmula de cambio de base.
\(\log_2 40=\displaystyle \frac {\ln 40}{\ln 2}\approx 5.322\)
Demostración
Sea \(m=\log_a x\)
Se tiene que \(a^m=x\)
Tomando logaritmo en base \(b\) a cada lado de la igualdad anterior:
\(\log_b a^m=\log_b x\)
\(m\log_b a=\log_b x\)
\(\log_a x \log_b a=\log_b x\)
\(\log_a x= \displaystyle \frac {\log_b x}{\log_b a}\)
Ejercicio: Calcula utilizando la definición de logaritmo o sus propiedades:
\(\displaystyle 5\log_2 32^5+3\log_2 1-7\log_9 3+6\log \frac{0.1}{1000}-2\log_2\frac{\sqrt[4]{2}}{16}\)
Solución
- \(\displaystyle 5\log_2 32^5=5^2 \log_2 2^5=5^3\log_2 2=5^3=125\)
- \(3\log_2 1=0\)
- \(-7\log_9 3=-7\cdot\displaystyle \frac {\log_3 3}{\log_3 9}=-7\cdot\frac 1 2=-\frac 7 2\)
- \(\displaystyle 6\log \frac{0.1}{1000}=6(\log 0.1 -\log 1000)=6(-1-3)=-24\)
- \(\displaystyle-2\log_2\frac{\sqrt[4]{2}}{16}=-2(\log_2 \sqrt[4]{2}-\log_2{16})=-2\left(\frac 1 4\log_2 2-4\right)=-2\left(-\frac{15}4\right)=\frac {15} 2\)
Finalmente,
\(\displaystyle 5\log_2 32^5+3\log_2 1-7\log_9 3+6\log \frac{0.1}{1000}-2\log_2\frac{\sqrt[4]{2}}{16}=\)
\(\displaystyle=125+0-\frac 7 2-24+\frac {15}2=125+\frac 8 2 -24=105\)
Ejercicio: Obtén una igualdad equivalente a \(\log A=3\log B^2-\displaystyle\frac 1 3 \log(B+6)\) en la que no aparezcan logaritmos.
Solución
\(\log A=3\log B^2-\displaystyle\frac 1 3 \log(B+6)\)
\(\log A=\log B^6-\log \sqrt[3]{B+6}\)
\(\log A=\log \displaystyle \frac{B^6}{\sqrt[3]{B+6}}\)
\(A=\displaystyle \frac{B^6}{\sqrt[3]{B+6}}\)