Potencias y radicales

Potencias de exponente natural

\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ \dots \  \cdot a}_n\)

\(a\in\mathbb R: \hspace{1em}\) base

\(n\in \mathbb N:\hspace{1em}\) exponente

Ejemplos:

a) \(3^4=3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81\)

b) \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\)

c) \((-3)^4=(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) =81\)

d) \(-3^4=-3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=-81\)

Propiedades de las potencias:

\(\boxed{\begin{array}{l}a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\ \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \\ a^n\cdot b^n=(ab)^n \\ \displaystyle \frac{a^n}{b^n}=\left( \frac a b \right)^n \\ (a^m)^n=a^{mn}\end{array}}\)

Observación:

Estas propiedades son válidas para potencias de exponente natural. A continuación definiremos las potencias de exponente cero, negativo y fraccionario de tal manera que las propiedades anteriores sigan cumpliéndose.

Potencia de exponente \(0\)

\(a^0=1\hspace{2em} \forall a\cancel{=} 0\) 

Justificación intuitiva: \(\hspace{1em} 2^0=\displaystyle 2^{1-1}=\frac {2^1}{2^1}=1\)

Potencias de exponente entero negativo

\(a^{-n}=\displaystyle \frac 1 {a^n}\)

Justificación intuitiva: \(\hspace{1em} 2^{-3}=2^{1-4}=\displaystyle \frac {2^1}{2^4}=\frac 2 {2\cdot 2^3}=\frac 1 {2^3}\)

Observación:

Elevar a \(-1\) equivale a obtener el inverso de un número, pues \(a^{-1}=\displaystyle \frac 1 a\)

En caso de que la base sea fraccionaria:

\(\left( \displaystyle \frac p q \right)^{-n}=\left( \displaystyle \frac q p \right)^{n}=\displaystyle\frac {q^n} {p^n}\)

Ejemplo: Calcula \(\displaystyle \frac{6^5\cdot 10^3 \cdot 5^{-2}}{15^3\cdot 3^2 \cdot (2^3)^4}\).

\(\displaystyle \frac{6^5\cdot 10^3 \cdot 5^{-2}}{15^3\cdot 3^2 \cdot (2^3)^4}=\)

\(=\displaystyle\frac{(2\cdot 3)^5\cdot (2\cdot 5)^3 \cdot 5^{-2}}{(3\cdot 5)^3\cdot 3^2 \cdot 2^{12}}=\)

\(=\displaystyle\frac{2^5\cdot 3^5\cdot 2^3\cdot 5^3 \cdot 5^{-2}}{3^5\cdot 5^3\cdot 3^2 \cdot 2^{12}}=\)

\(=\displaystyle\frac{2^8\cdot 3^5\cdot 5}{3^7\cdot 5^3\cdot 2^{12}}=\)

\(=\displaystyle\frac 1 {2^4\cdot 5^2}=\frac 1 {400}\)

Radicales

\(\sqrt[n]{a}=b \iff b^n=a\)

\(n:\hspace{1em} \)índice \(\hspace{2em} \hspace{2em}\sqrt[n]{ \ }:\hspace{1em} \) símbolo radical

\(a:\hspace{1em} \) radicando \(\hspace{2em} \hspace{1em} b:\hspace{1em}\) raíz \(n\)-ésima de \(a\)

Ejemplos: 

a) \(\sqrt[4]{81}=3\) pues \(3^4\) es \(81\)

b) \(\sqrt[3]{-27}=-3\) pues \((-3)^3=-27\)

c) \(\sqrt[4]{-16}\) no existe

Potencias de exponente fraccionario

\(a^{ \frac p q}=\sqrt[q]{a^p}\)

Justificación intuitiva: 

\(2^{\frac 1 3}=\sqrt[3]{2}\) pues \(\left( 2^{\frac 1 3}  \right)^3=2^{\frac 3 3}=2\)

\(3^{\frac 2 5}=\sqrt[5]{3^2}\) pues \(\left( 3^{\frac 2 5}  \right)^5=3^{\frac {2\cdot 5} 5}=3^2\)

Ejemplo: Calcula.

a) \(\sqrt[3]{2^9}=2^{9/3}=2^3=8\)

b) \((\sqrt[8]{3^2})^4=(3^{2/8})^4=3^{8/8}=3\)

Propiedades de los radicales

Radicales equivalentes:

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}\)

Ejemplos:

a) \(\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3\cdot 2]{2^{4\cdot 2}}=\sqrt[6]{2^8}\)

b) \(\sqrt[12]{5^{4}}=\sqrt[3]{5}\) (simplificación de radicales)

Producto de radicales con el mismo índice:

\(\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)

Ejemplos:

a) \(\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{16}=2\)

b) \(\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt{2}=\)

\(=\sqrt[6]{3^2}\cdot\sqrt[6]{2^3}=\)

\(=\sqrt[6]{3^2\cdot 2^3}=\)

\(=\sqrt[6]{72}\)

Extracción de factores en un radical:

Ejemplo: \(\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{3^3\cdot 3}=3\sqrt[3]{3}\)

Introducción de factores en un radical:

Ejemplo: \(2\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2^3\cdot 4}=\sqrt[3]{32}\)

Cociente de radicales con el mismo índice:

\(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle \frac a b}\)

Ejemplo:    \(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{2^{12}}} {\sqrt[5]{2^2}}=\sqrt[5]{\frac{2^{12}}{2^2}}=\)

\(=\sqrt[5]{2^{10}}=2^{10/5}=2^2=4\)

Potencia de un radical:

\((\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}\)

Ejemplo: \((\sqrt[3]{2})^6=\sqrt[3]{2^6}=2^{6/3}=2^2=4\)

Radical de un radical:

\(\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a}\)

Ejemplo: \(\sqrt{\sqrt[4]{3^6}}=\sqrt[8]{3^6}=\sqrt[4]{3^3}\)

Suma y resta de radicales

Los radicales en general no se pueden sumar, salvo que sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo: \(2\sqrt[3]{5}+6\sqrt[3]{5}-3\sqrt[3]{5}=5\sqrt[3]{5}\)

A veces puede conseguirse que los radicales sean semejantes extrayendo factores o simplificando los radicales:

Ejemplo: \(5\sqrt[4]{3}-3\sqrt[4]{48}+9\sqrt[8]{9}=\)

\(=5\sqrt[4]{3}-3\sqrt[4]{2^4\cdot 3}+9\sqrt[8]{3^2}=\)

\(=5\sqrt[4]{3}-3\cdot 2 \sqrt[4]{3}+9\sqrt[4]{3}=\)

\(=8\sqrt[8]{3}\)

Racionalización 

Racionalizar consiste en eliminar los radicales que puedan aparecer en una fracción. 

Ejemplos:

a) \(\displaystyle \frac {3}{2\sqrt{5}}\)

Se racionaliza multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt{5}\):

\(\displaystyle\frac {3}{2\sqrt{5}}=\frac {3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac {3\sqrt{5}}{10} \)

b) \(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}}\)

Se racionaliza multiplicando numerador y denominador por \(\sqrt[3]{7^2}\):

\(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{7}}=\frac{\sqrt[3]{5}\sqrt[3]{7^2} } {\sqrt[3]{7} \sqrt[3]{7^2}}=\frac{\sqrt[3]{5\cdot 7^2}}{\sqrt[3]{7^3}}=\frac{\sqrt[3]{245  } }{7} \)

c) \(\displaystyle \frac {2}{3-\sqrt{5}}\)

Se racionaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de \(3-\sqrt{5}\), es decir, por \(3+\sqrt{5}\):

\(\displaystyle \frac {2}{3-\sqrt{5}}= \frac {2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\)

\(\hspace{1em}\hspace{2em}\displaystyle=\frac{6+2\sqrt{5}}{9-5}=\)

\(\hspace{1em}\hspace{2em}\displaystyle=\frac{6+2\sqrt{5}} 4=\)

\(\hspace{1em}\hspace{2em}\displaystyle=\frac{3+\sqrt{5}} 2\)