Medidas de centralización | Estadística unidimensional

Estadística unidimensional

Media aritmética:

La media aritmética se obtiene sumando todos los datos y dividiendo por el número total de datos, $N$ .

Suponiendo que cada dato aparece una sola vez o suponiendo que los valores $x_{i}$ pueden estar repetidos, la media puede obtenerse mediante:

$\overset{―}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{N}}{N} = \frac{\sum_{i = 1}^{N} x_{i}}{N}$

Suponiendo que la variable toma $k$ valores distintos, $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{k}$ , o en caso de que los $x_{i}$ sean las marcas de clase de una variable agrupada en intervalos, la media viene dada por:

$\overset{―}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} x_{i} \cdot f_{i}}{N}$

siendo las $f_{i}$ las frecuencias absolutas asociadas a los $x_{i}$ .

EJEMPLO 1

Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes en el examen de Matemáticas:

4 7 8 9 6 3 5 6 6 7

Calcula la media.

Solución

$X =$ "Calificaciones obtenidas en el examen de Matemáticas"

Media:

$\overset{―}{x} = \frac{4 + 7 + 8 + 9 + 6 + 3 + 5 + 6 + 6 + 7}{10} = \frac{61}{10} = 6.1$

Que la media sea $6.1$ significa que, por término medio, las calificaciones obtenidas por los estudiantes se sitúan en torno a $6.1$ .

EJEMPLO 2

Los datos recogidos en una encuesta sobre el número de días a la semana que practican algún tipo de deporte un grupo de personas se muestran en la siguiente tabla:

Número de días a la semana	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$
Número de personas	$5$	$6$	$10$	$8$	$2$

Haz una tabla de frecuencias y calcula la media, la moda y la mediana.

Solución

$X =$ "Número de días a la semana que una persona practica deporte"

$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$
$0$	$5$	$0$
$1$	$6$	$6$
$2$	$10$	$20$
$3$	$8$	$24$
$5$	$2$	$10$
	$31$	$60$

Media:

$\overset{―}{x} = \frac{\sum x_{i} \cdot f_{i}}{N} = \frac{60}{31} = 1.94$

Que la media sea $1.94$ significa que por término medio, las personas practican deporte en torno a 2 días a la semana.

EJEMPLO 3

La siguiente tabla recoge información sobre la distancia recorrida (en km) por los vehículos de una empresa de paquetería en un día.

Intervalo de distancia (km)	$[50, 100)$	$[100, 150)$	$[150, 200)$	$[200, 250)$
Número de vehículos	$5$	$16$	$13$	$6$

Calcula la media.

Solución

Intervalos	$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$
$[50, 100)$	$75$	$5$	$375$
$[100, 150)$	$125$	$16$	$2000$
$[150, 200)$	$175$	$13$	$2275$
$[200, 250)$	$225$	$6$	$1350$
		$40$	$6000$

Media:

$\overset{―}{x} = \frac{\sum x_{i} \cdot f_{i}}{N} = \frac{6000}{40} = 150$

Moda

Es el valor $x_{i}$ que tiene mayor frecuencia.

Mediana

Es el valor de la variable que está por encima del $50$ % de la población.

Observación:

1) El cálculo de la media y la mediana puede realizarse directamente si hay pocos datos. A partir de los datos ordenados, la mediana se puede calcular de la siguiente manera:

La mediana es el valor central si hay un número impar de datos
La mediana es la media de los dos valores centrales si el número de datos es par.

2) En caso de un volumen de datos mayor o en caso de datos agrupados en intervalos puede resultar más conveniente organizar los datos en una tabla de frecuencias y utilizar ésta como base para realizar los cálculos.

EJEMPLO 4

Calcula la moda y la mediana de cada uno de los siguientes conjuntos de datos, que corresponden a las calificaciones obtenidas por varios grupos de estudiantes en el examen de Matemáticas:

Grupo 1) Las calificaciones son: $4 7 8 9 6 3 5 6 6 7$

Grupo 2) Las calificaciones son: $3 4 5 6 6 7 7 7 8 9$

Grupo 3) Las calificaciones son: $3 4 5 6 6 7 7 7 8$

Solución

Grupo 1)

Mediana:

Los datos ordenados son: $3 4 5 6 6 6 7 7 8 9$

La mitad de $10$ es $5$ , así que los datos pueden dividirse en dos partes iguales como:

$3 4 5 6 6 6 7 7 8 9$

y el valor que está por encima de la primera mitad es $6$ .

Que $6$ sea la mediana se interpreta como que al menos el 50% de los estudiantes tienen una calificación menor o igual a $6$ .

Moda:

$M o = 6$

Que la moda sea $6$ significa que $6$ es calificación más frecuente (se repite tres veces).

Grupo 2)

Mediana:

Si las calificaciones son $3 4 5 6 6 7 7 7 8 9$

cualquier valor entre 6 y 7 estaría por encima del 50% de los datos y se definiría la mediana como la media de estos dos valores:

$M e = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$

Moda:

$M o = 7$

Grupo 3)

Mediana:

Si las calificaciones son: $3 4 5 6 6 7 7 7 8$

la mitad de la población son $\frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5$ datos, por lo que el dato central es la mediana: $M e = 6$

Moda:

$M o = 7$

EJEMPLO 5

A partir de los datos del EJEMPLO 2, calcula la moda y la mediana.

Solución

Completando la tabla del EJEMPLO 2 con las frecuencias acumuladas tenemos:

$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i} \cdot f_{i}$	$F_{i}$	$H_{i}$
$0$	$5$	$0$	$5$	$0.16$
$1$	$6$	$6$	$11$	$0.35$
$2$	$10$	$20$	$21$	$0.68$
$3$	$8$	$24$	$29$	$0.94$
$5$	$2$	$10$	$31$	$1$
	$31$	$60$

Moda:

$M o = 2$

Que la moda sea $2$ significa que lo más frecuente es practicar deporte dos veces en semana.

Mediana:

Primera forma: $H_{i}$ supera o iguala a $0.5$ para el valor 2 de la variable:

$M e = 2$

Segunda forma: Los datos ordenados quedan de la siguiente manera:

$0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5$

Como son 31 datos, la mitad son 15.5, así que el dato que ocupa el lugar 16 es la mediana:

$\underset{15 datos}{\underset{⏟}{0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2}} \underset{\begin{array}{cc} ↑ \\ M e = 2 \end{array}}{2} 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5$

Que la mediana sea $2$ significa que al menos la mitad de las personas del grupo practican deporte 2 días a la semana o menos.