Medidas de posición | Estadística unidimensional

Estadística unidimensional

Cuartiles ( $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ )

Son valores que dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales.

El cuartil $Q_{1}$ está por encima del $25$ % de la población.
El cuartil $Q_{2}$ está por encima del $50$ % de la población y coincide, por tanto, con la mediana ( $Q_{2} = M e$ ).
El cuartil $Q_{3}$ está por encima del $75$ % de la población.

EJEMPLO 1

Halla los cuartiles correspondientes a los siguientes conjuntos de datos:

a) 30 32 41 45 41 35 38 32 40 28 27 44

b) 32 39 42 35 37 33 40

Solución

a) Los 12 datos ordenados de menor a mayor quedarían de la siguiente manera:

27 28 30 32 32 35 38 40 41 41 44 45

$\frac{1}{4} \cdot 12 = 3 ⟶ Q_{1} = \frac{30 + 32}{2} = 31$

$\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 ⟶ Q_{2} = M e = \frac{35 + 38}{2} = 36.5$

$\frac{3}{4} \cdot 12 = 9 ⟶ Q_{3} = 41$

b) Los 7 datos ordenados quedan de la siguiente forma:

32 33 35 37 39 40 42

$\frac{1}{4} \cdot 7 = 1.75 ⟶ Q_{1} = 33$

$\frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5 ⟶ Q_{2} = M e = 37$

$\frac{3}{4} \cdot 7 = 5.25 ⟶ Q_{3} = 40$

EJEMPLO 2

A partir de los datos de la siguiente tabla, que recoge los puntos obtenidos por los participantes en una prueba de razonamiento lógico,

Puntuación	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Número de participantes	$5$	$12$	$25$	$32$	$26$	$14$	$6$	$5$

elabora una tabla de frecuencias y calcula los cuartiles.

Solución

$x_{i}$	$f_{i}$	$F_{i}$	$H_{i}$
$3$	$5$	$5$	$0.04$
$4$	$12$	$17$	$0.136$
$5$	$25$	$42$	$0.336$
$6$	$32$	$74$	$0.592$
$7$	$26$	$100$	$0.8$
$8$	$14$	$114$	$0.912$
$9$	$6$	$120$	$0.96$
$10$	$5$	$125$	$1$
	$125$

$H_{i}$ supera a 0.25 para el valor $5$ de la variable $⟶ Q_{1} = 5$

$H_{i}$ supera a 0.5 para el valor $6$ de la variable $⟶ Q_{2} = M e = 6$

$H_{i}$ supera a 0.75 para el valor $7$ de la variable $⟶ Q_{3} = 7$

Percentiles

Los percentiles son valores de la variable que dividen a la población en 100 partes iguales.

El percentil $p_{k}$ es un valor que está por encima del $k$ % de la población.

Observación:

$p_{25} = Q_{1}$

$p_{50} = Q_{2} = M e$

$p_{75} = Q_{3}$

EJEMPLO 2 (continuación):

Halla los percentiles $p_{40}$ , $p_{80}$ y $p_{95}$ .

$x_{i}$	$f_{i}$	$F_{i}$	$H_{i}$
$3$	$5$	$5$	$0.04$
$4$	$12$	$17$	$0.136$
$5$	$25$	$42$	$0.336$
$6$	$32$	$74$	$0.592$
$7$	$26$	$100$	$0.8$
$8$	$14$	$114$	$0.912$
$9$	$6$	$120$	$0.96$
$10$	$5$	$125$	$1$
	$125$

Solución

$H_{i}$ supera a 0.4 para el valor $6$ de la variable $⟶ p_{40} = 6$

$H_{i}$ iguala a 0.8 para el valor $7$ de la variable $⟶ p_{80} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$

$H_{i}$ supera a 0.95 para el valor $9$ de la variable $⟶ p_{95} = 9$

Diagrama de caja y bigotes

Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que se usa para visualizar la distribución de un conjunto de datos.

Consta de dos partes:

Caja: Es un rectángulo que cuya base se extiende desde el valor $Q_{1}$ hasta el valor $Q_{3}$ .
Bigotes: Se extienden desde el borde derecho de la caja hasta el valor más alto de los datos y desde el borde izquierdo hasta el valor más bajo.

EJEMPLO 3

Representa el diagrama de caja y bigotes correspondiente a los siguientes datos:

2 2 3 3 3 4 5 6 7 7 8 9

Solución

Número de datos: 12

$1 / 4 \cdot 12 = 3 ⟶ Q_{1} = 3$

$1 / 2 \cdot 12 = 6 ⟶ Q_{2} = M e = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$

$3 / 4 \cdot 12 = 9 ⟶ Q_{3} = 7$

diagrama de cajas y bigotes

Rango intercuartílico: $R I = Q_{3} - Q_{1}$

Observación:

En caso de que existan datos que disten del borde más cercano de la caja más de $1.5 \cdot R I$ , dichos datos se representarán mediante asteriscos (datos anómalos) y la longitud de los bigotes quedará determinada por los valores más altos y más bajos del resto de datos.

EJEMPLO 4

Haz un diagrama de caja y bigotes correspondiente a los datos recogidos en la siguiente tabla, obtenidos de un estudio sobre el número de horas diarias que dedica un grupo de personas a realizar tareas del hogar:

Número de horas	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$7$
Número de personas	$1$	$3$	$4$	$1$	$1$	$1$

Solución

$x_{i}$	$f_{i}$	$F_{i}$	$H_{i}$
$0$	$1$	$1$	$0.9$
$1$	$3$	$4$	$0.36$
$2$	$4$	$8$	$0.73$
$3$	$1$	$9$	$0.82$
$4$	$1$	$10$	$0.91$
$7$	$1$	$11$	$1$
	$11$

$Q_{1} = 1$

$Q_{2} = M e = 2$

$Q_{3} = 3$

$R I = Q_{3} - Q_{1} = 3 - 1 = 2$

$1.5 \cdot R I = 1.5 \cdot 2 = 3$

$Q_{3} + 1.5 \cdot R I = 3 + 3 = 6 < 7 ⟶$ El valor 7 es un dato anómalo.

$Q_{1} - 1.5 \cdot R I = 1 - 3 = - 2 ⟶$ No hay datos anómalos menores que $Q_{1}$ .

diagrama de caja y bigotes (2)