Dadas dos funciones \(f\) y \(g\), se define la función compuesta \(g\circ f\) como la función que asigna a cada \(x\) el valor \(g(f(x))\), es decir, el resultado que se obtiene al aplicar a \(x\) las funciones \(f\) y \(g\) sucesivamente, en ese orden:
La expresión \(g\circ f\), que designa a la función compuesta, se lee \(f\) compuesta con \(g\) debido a que \(f\) es la primera función en aplicarse. Queda definida como:
\(\hspace{2em} g\circ f(x)=g(f(x))\)
Veamos un ejemplo a continuación:
Observaciones
1) En general, \(f\circ g\) y \(g\circ f\) son funciones diferentes (ver ejemplo anterior).
2) Para que \(x\) pertenezca al \(\mbox{Dom}(\mathit g\circ f)\) se requiere que:
- \(x\in\mbox{Dom}(f)\)
- \(f(x)\in\mbox{Dom}(g)\)
Ejemplo: Dadas las funciones \(f(x)=\displaystyle \frac 1 x\) y \(g(x)=x-1\), averigua el dominio de \(f\circ g\hspace{1em} \) y \(\hspace{1em} g\circ f\).
\(\mbox{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\)
\(\mbox{Dom}(g)=\mathbb R\)
\(\mbox{Dom}(g\circ f)=\mbox{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\hspace{1em}\)
\(\mbox{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb R: g(x)\in\mbox{Dom}(f)\}=\{x\in\mathbb R: x-1 eq 0\}=\mathbb R\setminus\{1\}\hspace{1em}\)