Dada una función \(f\), podemos obtener la expresión analítica de la función \(f^{-1}\) procediendo de la siguiente manera:
1) Intercambiar \(x\) e \(y\) en la igualdad \(y=f(x)\):
\(\hspace{2em} x=f(y)\)
2) Despejar \(y\) en la igualdad anterior.
A continuación se muestra un ejemplo en el que se aplica este procedimiento.
Como ya se expuso, para que una función tenga inversa, debe existir para cada \(b\in\mbox{Im}(f)\) un único \(a\in\mbox{Dom}(f)\) que verifique \(b=f(a)\). Esto significa que \(f\) debe ser inyectiva, característica que suele definirse como sigue:
Una función \(f\) es inyectiva si verifica lo siguiente:
\(\hspace{2em}\) Si \(f(x_1)=f(x_2)\) entonces \(x_1=x_2\hspace{1em} \forall x_1,x_2\in\mbox{Dom}(f)\)
Gráficamente, que una función sea inyectiva implica que toda recta horizontal corta a la gráfica de la función en, a lo sumo, un punto, como se ilustra en el applet de la derecha, es decir, que la función sea estrictamente creciente o decreciente.
Observaciones
1) En el ejemplo anterior hemos hallado la expresión analítica de la función inversa sin preguntarnos si la función es \(f\) inyectiva. Realmente podemos afirmar que lo es, dado que, al despejar \(y\) en el procedimiento analitico que se ha propuesto, sólo encontramos una solución.
2) Aunque una función no inyectiva no tiene inversa, sí pueden tenerla restricciones de la misma que sean inyectivas, como ocurre en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: