En este punto se van a presentar las funciones inversas de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Dado que ninguna de estas funciones es inyectiva, sus funciones inversas corresponderán a una restricción de las mismas que sea inyectiva.
Función arco seno
Para la siguiente restricción de la función seno:
\(\hspace{2em} f:[-\pi/2,\pi/2]\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em}\) \(f(x)=\sin x\)
consideramos su función inversa, a la que denominaremos función arco seno:
\(\hspace{2em} \arcsin:[-1,1]\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em} \arcsin(x)=f^{-1}(x)\)
A partir de las siguientes tablas de valores puede hacerse la representación gráfica de la función arco seno, como se muestra en el applet de GeoGebra a la derecha.
\( \begin{array}{c|c} x & y=\sin x \\ \hline -\pi/2 & -1 \\ -\pi/4 & -\sqrt{2}/2 \\ 0 & 0 \\ \pi/4 & \sqrt{2}/2 \\ \pi/2 & 1 \end{array}\) \(\hspace{2em} \begin{array}{c|c} x & y=\arcsin x \\ \hline -1 &-\pi/2 \\ -\sqrt{2}/2 &-\pi/4 \\ 0 & 0 \\ \sqrt{2}/2 & \pi/4 \\ 1 & \pi/2 \end{array}\)
Función arco coseno
Para la siguiente restricción de la función coseno:
\(\hspace{2em} g:[0,\pi]\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em} g(x)=\cos x\)
consideramos su función inversa, a la que denominaremos función arco coseno:
\(\hspace{2em} \arccos:[-1,1]\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em}\) \(\arccos(x)=g^{-1}(x)\)
A partir de las siguientes tablas de valores puede hacerse la representación gráfica de la función arco coseno, como se muestra en el applet de GeoGebra a la derecha.
\( \begin{array}{c|c} x & y=\cos x \\ \hline 0 & 1 \\ \pi/4 & \sqrt{2}/2 \\ \pi/2 & 0 \\ 3\pi/4 & -\sqrt{2}/2 \\ \pi & -1 \end{array}\) \(\hspace{2em} \begin{array}{c|c} x & y=\arccos x \\ \hline 1 & 0 \\ \sqrt{2}/2 &\pi/4 \\ 0 & \pi/2 \\ -\sqrt{2}/2 & 3\pi/4 \\ -1 & \pi \end{array}\)
Función arco tangente
Para la siguiente restricción de la función tangente:
\(\hspace{2em} h:(-\pi/2,\pi/2)\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em} h(x)= \tan x\)
consideramos su función inversa, a la que denominaremos función arco tangente:
\(\hspace{2em} \arctan:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em}\) \(\arctan(x)=h^{-1}(x)\)
La gráfica de la función arco tangente puede hacerse con la ayuda de las siguientes tablas de valores, como se muestra en el applet de GeoGebra a la derecha.
\( \begin{array}{c|c} x & y= \tan x \\ \hline -\pi/4 & -1\\ 0 & 0 \\ \pi/4 & 1 \end{array}\) \(\hspace{2em} \begin{array}{c|c} x & y=\arctan x \\ \hline -1 & -\pi/4 \\ 0 & 0 \\ 1 & \pi/4 \end{array}\)
Observa que las asíntotas verticales \(x=-\pi/2\) y \(x=\pi/2\) de la función tangente, se transforman en las asíntotas \(y=-\pi/2\) y \(y=\pi/2\) de la función arco tangente.