Una función real de variable real es una relación entre dos variables \(x\) e \(y\) de tal manera que a cada valor de la variable \(x\) le corresponde un único valor de la variable \(y\).

\(\hspace{2em} \begin{array}{rcl} \mathit f:\mathit A\subset\mathbb R & \longrightarrow & \mathbb R \\ \mathit x& \longmapsto & \mathit y=\mathit f(\mathit x)\end{array}\)

\(x\) es la variable independiente, que toma valores en el conjunto \(A\).

\(y\) es la variable dependiente, que toma valores que dependen de \(x\).

Dominio de la función:

Es el conjunto \(A\) sobre el que toma valores la variable \(x\).

Se denota como \(A=\mbox{Dom}(f)\).

Recorrido o imagen de la función:

Es el conjunto de valores que toma la variable \(y\).

Se denota como \(\mbox{Im}(f)\).

\(\hspace{2em} \mbox{Im}(f)=\{f(x): x\in\mbox{Dom}(f)   \}\)

Ejemplos:

Con una función podemos trabajar principalmente de tres formas distintas: con su expresión analítica, con tablas de valores o con su gráfica.

Expresión analítica

Consiste en una fórmula que permite calcular los valores de la variable dependiente a partir de los valores de la variable independiente.

Ejemplo: \(f(x)=x^2\)

Según la expresión analítica, el valor \(2\) de la variable independiente se relaciona con el valor \(2^2=4\) de la variable independiente.

Se expresa como \(f(2)=4\).

Tabla de valores

Es una representación que muestra la relación entre algunos valores de las variables.

Ejemplo: a partir de la expresión analítica del ejemplo anterior, podemos construir la siguiente tabla:

\(\hspace{2em} \begin{array}{|c|c|} \hline x & \ y \ \\ \hline -2 & 4 \\ -1 &  1 \\ 0 &  0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \hline  \end{array}\)

Representación gráfica

Es una representación en los ejes cartesianos de los pares \((x,f(x))\) con \(x\in\mbox{Dom}(f)\).

Suele realizarse con la ayuda de una tabla de valores, teniendo en cuenta, además, las características del tipo de función que se esté analizando.

Ejemplo: representar gráficamente la función \(f(x)=x^2\).

A partir de la tabla de valores previa, obtenemos la siguiente gráfica:

Determinación del dominio de una función

El dominio de una función puede venir determinado en la propia definición de la función.

Ejemplo: \(f:[-2,2]\longrightarrow \mathbb R, \hspace{1em} f(x)=x^2\)

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(f)=[-2,2]\)

En caso de que no se especifique el dominio, entenderemos que éste es el conjunto más amplio posible, que podrá verse restringido en las siguientes situaciones:

1) Cuando la expresión analítica de la función no tenga sentido para algunos valores de la variable independiente.

Ejemplos:

a) \(f(x)=\displaystyle \frac 1 {x-2}\)

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{ 2 \}\)

b) \(g(x)=\sqrt{x-2}\)

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(g)=[2,+\infty)\)

2) Cuando existen valores de la variable independiente que carecen de sentido en el contexto en el que aparece la función.

Ejemplo: si \(x\) representa el lado de un cuadrado, el área del cuadrado viene dado por la función \(A(x)=x^2\).

Aunque la expresión analítica de la función tiene sentido en todo \(\mathbb R\), el contexto en el que se usa la función obliga a restrigir el dominio a:

\(\hspace{2em} \mbox{Dom}(A)=(0,+\infty)\)

Determinación del dominio y el recorrido de una función a partir de su gráfica

Si disponemos de la gráfica de una función, podemos determinar su dominio y recorrido teniendo en cuenta lo siguiente:

• El dominio se obtiene proyectando sobre el eje de abscisas cada uno de los puntos de la gráfica de la función.
• El recorrido se obtiene proyectando sobre el eje de ordenadas cada uno de los puntos de la gráfica de la función.