Con el estudio de la curvatura de una función se pretende averiguar la manera en la que su gráfica se dobla, ya sea hacia arriba (convexidad) o hacia abajo (concavidad). La curvatura está relacionada con la variación de la pendiente, es decir, con la segunda derivada de la función.
DEFINICIONES
- Una función \(f\) es convexa en un intervalo \(I\) si para todo \(a\), \(b\) de \(I\), el segmento que une los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) queda por encima de la gráfica de \(f\).
- Una función \(f\) es cóncava en un intervalo \(I\) si para todo \(a\), \(b\) de \(I\), el segmento que une los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) queda por debajo de la gráfica de \(f\).
Si una función \(f\) es derivable, puede demostrarse lo siguiente:
- Si \(f\) es derivable y es convexa en un intervalo, entonces la recta tangente en cada punto \(x_0\) del intervalo queda por debajo de la gráfica de la función en ese intervalo (salvo en el punto \((x_0,f(x_0))\).
- Si \(f\) es derivable y es cóncava en un intervalo, entonces la recta tangente en cada punto \(x_0\) del intervalo queda por encima de la gráfica de la función en ese intervalo (salvo en el punto \((x_0,f(x_0))\).
- Si \(f\) es derivable y \(f'\) es creciente en un intervalo, entonces \(f\) es convexa en ese intervalo.
- Si \(f\) es derivable y \(f'\) es decreciente en un intervalo, entonces \(f\) es cóncava en ese intervalo.
Suponiendo además que \(f'\) es derivable, es decir, existe \(f''\), se puede aplicar el siguiente criterio para estudiar la curvatura de una función:
- Si \(f''(x_0)>0\) entonces \(f\) es convexa
- Si \(f''(x_0)<0\) entonces \(f\) es cóncava
- Si \(f''(x_0)=0\) y \(f'''(x_0) eq 0\) entonces \(f\) tiene un punto de inflexión en \(x_0\)
Observaciones:
1) Si \(f''\) es positiva, entonces \(f'\) es creciente, mientras que si \(f''\) es negativa, entonces \(f'\) es decreciente. Esto justifica la validez del criterio al poderse aplicar el resultado expuesto anteriormente.
2) El punto de inflexión es el punto en el que hay un cambio de curvatura, es decir, la función pasa de cóncava a convexa.
En él se cumple que la recta tangente a la función está a un lado por encima de la gráfica y al otro por debajo de la gráfica de la función.