Relación entre continuidad y derivabilidad
Si una función es derivable en \(x=x_0\) entonces la función es continua en ese punto, es decir:
Derivabilidad \(\Rightarrow\) Continuidad
Demostración
Para probar que \(f\) es continua en \(x_0\) hay que demostrar que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)\) o, equivalentemente, \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)-f(x_0))=0\).
En efecto:
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0} (f(x)-f(x_0))=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=\)
\(\hspace{2em} \displaystyle = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot \lim_{x\rightarrow x_0} (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0=0\)
Observaciones:
1) Para que una función sea derivable necesariamente debe ser continua. Por tanto, el primer paso a realizar para estudiar la derivabilidad de una función es estudiar su continuidad.
2) Si una función es continua, esto no significa que también sea derivable, es decir:
Continuidad \(\cancel{\Rightarrow}\) Derivabilidad
Ejemplo: Estudia la derivabilidad de \(f(x)=|x-1|\) en \(x=1\).
\(f\) es continua en \(x=1\) ya que su expresión analítica se obtiene mediante la composición de funciones continuas.
Para estudiar la derivabilidad en \(x=1\), escribimos \(f\) como función a trozos:
\(\hspace{2em} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x+1 & \mbox{si }x<1 \\ x-1 & \mbox{si }x\ge 1 \end{array}\right.\)
y analizamos el siguiente límite:
\(\hspace{2em} \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}\)
Límites laterales:
\(\hspace{2em} \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac {h+1-1-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^+}1=1\)
\(\hspace{2em} \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^-}\frac {-h-1+1-0}{h}=\lim_{h\rightarrow 0^-}-1=-1\)
Como los límites laterales son distintos, entonces \(\hspace{1em} \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}\hspace{1em}\) no existe y la función no es derivable en \(x=1\).
Por tanto, hemos encontrado una función que es continua en un punto pero no es derivable en él.
3) La interpretación geométrica de que una función sea derivable es que su gráfica varíe de forma suave. Si una función no es derivable en un punto, pueden darse las siguientes posibilidades:
Función discontinua
Punto anguloso
Recta tangente vertical
Derivadas laterales y derivabilidad
En el ejemplo mostrado anteriormente, para estudiar la derivabilidad de la función \(y=|x-1|\), calculamos unos límites laterales en \(x=1\), que se denominan derivadas laterales y que se definen en un caso general de la siguiente manera:
Derivada lateral por la izquierda de una función \(f\) en un punto \(x_0\):
\(f'(x_0^-)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^-}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)} h\)
Derivada lateral por la derecha de una función \(f\) en un punto \(x_0\):
\(f'(x_0^+)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac {f(x_0+h)-f(x_0)} h\)
En relación con la derivabilidad y las derivadas laterales se tiene el siguiente resultado:
\(f\) es derivable en \(x_0\) \(\iff\) las derivadas laterales existen y son finitas y, además, \(f'(x_0^+)=f'(x_0^-)\)
Además de este resultado, para el estudio de la derivabilidad de una función es útil tener en cuenta que las funciones elementales son derivables en los puntos de su dominio, salvo algunas excepciones, como aquellos puntos en los que la recta tangente es vertical.
Si tenemos una función definida a trozos como la siguiente:
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} f_1(x) & \mbox{si }x < x_0 \\ f_2(x) & \mbox{si }x \ge x_0 \end{array}\right.\)
donde \(f_1\) y \(f_2\) son funciones continuas y derivables, podemos asegurar que \(f\) también es continua y derivable en \(\mathbb R\setminus \{x_0\}\).
Para que sea continua en \(x_0\), debe cumplirse
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0)\)
En tal caso, la derivabilidad en \(x_0\) estará garantizada siempre que las derivadas laterales sean iguales.
Teniendo en cuenta que
\(f'(x_0^-)=f_1'(x_0)\)
\(f'(x_0^+)=f_2'(x_0)\)
\(f\) será derivable en \(x_0\) si y sólo si \(f_1'(x_0)=f_2'(x_0)\).
Observación:
Dado que \(f_1\) y \(f_2\) son derivables, podemos expresar la función derivada de \(f\) como:
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} f'_1(x) & \mbox{si }x < x_0 \\ f'_2(x) & \mbox{si }x > x_0 \end{array}\right.\)
a falta de determinar la derivabilidad de \(f\) en \(x=x_0\).
Podríamos pensar que la función \(f\) es derivable en \(x_0\) si \(f\) es continua en \(x_0\) y la función \(f'\) también lo es, es decir, si se cumple:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^+} f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-} f'(x)\) y definimos \(f'(x_0)\) como el valor obtenido con los límites anteriores.
Esto equivaldría a definir las derivadas laterales como:
\(f'(x_0^-)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^-} f'_1(x)\)
\(f'(x_0^+)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0^+} f'_2(x)\)
Sin embargo, esta consideración no es estrictamente cierta, pues existen funciones, algo sofisticadas, cuya derivada no es continua en un punto, es decir, que son derivables en un punto pero los límites laterales de la función derivada pueden incluso no existir. En estos casos, no queda más remedio que hallar la derivada por definición.
No obstante, las funciones con las que vamos a trabajar este curso sí tienen derivada continua, por lo que es habitual que algunos textos obtengan las derivadas laterales en el punto de ruptura de una función definida a trozos hallando los límites laterales de la función derivada.
Ejemplos
Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:
a) \(f(x)=\displaystyle \frac {2x+1}{x-5}\)
\(f\) es continua y derivable en \(\mathbb R\setminus\{ 5\}\) por ser un cociente de funciones elementales cuyo denominador sólo se anula para \(x=5\).
Estudiemos la continuidad en \(x=5\):
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5^+} \frac {2x+1}{x-5} \hspace{0.2cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle\frac {11}{0^+} \end{array}}{=} \hspace{0.2cm} +\infty\)
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 5^-} \frac {2x+1}{x-5} \hspace{0.2cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \frac{11}{0^-} \end{array}}{=} \hspace{0.2cm} -\infty\(
Por tanto, \)f\( tiene una discontinuidad de salto infinito en \)x=5\(. Al no ser continua, tampoco es derivable en \)x=5\(.
b) \)g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x+1 & \mbox{si } x<1 \\ e^{x^2-1} & \mbox{si } x\ge 1\end{array}\right.\(
\)g\( es continua y derivable en \)\mathbb R\setminus \{1 \}\( al estar definida a partir de funciones elementales, que son continuas y derivables.
Estudiemos la continuidad en \)x=1\(:
\)\hspace{2em}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-} g(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-} (2x+1)=3\(
\)\hspace{2em}\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+} g(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+} e^{x^2-1}=1 eq 3\(
Por tanto, \)g\( no es continua en \)x=1\( y tampoco es derivable en ese punto.
c) \)h(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2-2x+3 & \mbox{si } x<2 \\ \displaystyle \frac 3 {3-x} & \mbox{si } x\ge 2\end{array}\right.\(
\)h\( es continua y derivable en \)\mathbb R\setminus\{2,3 \}\( al estar definida a partir de funciones elementales que son continuas y derivables en ese conjunto.
Consideremos las funciones \)h_1(x)=x^2-2x+3\hspace{1em}\( y \)\hspace{1em} h_2(x)=\displaystyle \frac 3 {3-x}\(, para las que se tiene:
\)\hspace{2em} h_1'(x)=2x-2\hspace{1em} \( y \)\hspace{1em} h_2'(x)=\displaystyle \frac{3}{(3-x)^2}\(
Estudiemos la continuidad en \)x=2\(:
\)\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x o2^-} h(x)=\lim_{x o2^-} h_1(x)=\lim_{x o2^-} (x^2-2x+3)=2^2-2\cdot 2+3=3\(
\)\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x o2^+} h(x)=\lim_{x o2^+} h_2(x)=\lim_{x o2^+} \frac 3 {3-x}=\frac 3 {3-2}=3\(
\)\hspace{2em} h(2)=3\(
Por tanto, \)\displaystyle \lim_{x o2^-} h(x)=3=h(2)\( y \)h\( es continua en \)x=2\(.
Estudiemos la derivabilidad de la función en \)x=2\(:
\)\hspace{2em} h'(2^-)=h_1'(2^-)=h_1'(2)=2\cdot 2-2=2\(
\)\hspace{2em} h'(2^+)=h_2'(2^+)=h_2'(2)=\frac 3 {(3-2)^2}=3 eq 2\(
Como las derivadas laterales son distintas, \)h\( no es derivable en \)x=2\(.
Estudiemos la continuidad de \)h\( en \)x=3\(:
\)\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x o3^-} h(x)=\lim_{x o3^-} h_2(x)=\lim_{x o3^-} \frac 3 {3-x} \hspace{0.2cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \frac{3}{0^+} \end{array}}{=} \hspace{0.2cm} +\infty\(
\)\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x o3^+} h(x)=\lim_{x o3^+} h_2(x)=\lim_{x o3^+} \frac 3 {3-x} \hspace{0.2cm} \underset{ \begin{array}{c}\uparrow \\ \small\displaystyle \frac{3}{0^-} \end{array}}{=} \hspace{0.2cm} -\infty\(
\)h\( presenta una discontinuidad de salto infinito en \)x=3\(. Por tanto, tampoco es derivable en \)x=3\(.
d) \)i(x)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac 1 x & \mbox{si } x \le -1 \\ -2-x & \mbox{si } x > -1\end{array}\right.\(
\)i\( es continua y derivable en \)\mathbb R\setminus\{-1 \}\( al estar definida a partir de funciones elementales que son continuas y derivables en ese conjunto.
Sean \)i_1(x)=\displaystyle \displaystyle \frac 1 x\hspace{1em} \( e \)\hspace{1em} i_2(x)=-2-x\(, para las que se tiene que:
\)\hspace{1em} i'_1(x)=-\displaystyle \frac 1 {x^2}\hspace{1em} \( e \)\hspace{1em} i_2'(x)=-1\(.
Estudiemos la continuidad de \)i\( en \)x=-1\(:
\)\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} i(x)=\lim_{x\rightarrow -1^-} i_1(x)=\lim_{x\rightarrow -1^-} \frac 1 x=\frac 1 {-1}=-1\(
\)\hspace{2em} \displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+} i(x)=\lim_{x\rightarrow -1^+} i_2(x)=\lim_{x\rightarrow -1^+} -2-x=-2-(-1)=-1\(
\)\hspace{2em} i(-1)=-1\(
Por tanto, \)\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+} i(x)=-1=i(-1)\( e \)i\( es continua en \)x=-1\(.
Estudiemos la derivabilidad de \)i\( en \)x=-1\(:
\)\hspace{2em} i'(-1^-)=i_1'(-1^-)=-\frac 1 {(-1)^2}=-1\(
\)\hspace{2em} i'(-1^+)=i_2'(-1^+)=-1\(
Como las derivadas laterales coinciden, \)i\( es derivable en \)x=-1$.