Crecimiento
A nivel intuitivo, sabemos que la pendiente de la recta tangente está relacionada con el crecimiento de una función en un punto. Así, para el estudio del crecimiento de una función podemos considerar el siguiente criterio:
Criterio:
- Si \(f'(x_0)>0\) entonces \(f\) es creciente en \(x_0\)
-
Si \(f'(x_0)<0\) entonces \(f\) es decreciente en \(x_0\)
-
Si \(f'(x_0)=0\) no podemos concluir nada sobre el crecimiento
Máximos y mínimos
DEFINICIONES
- Un punto \((x_0,f(x_0))\) es un máximo relativo o local de una función \(f\) si \(f(x_0)\ge f(x)\) en un entorno de \(x_0\).
- Un punto \((x_0,f(x_0))\) es un máximo relativo o local de una función \(f\) si \(f(x_0)\le f(x)\) en un entorno de \(x_0\).
- Los máximos y mínimos relativos también se denominan extremos relativos.
Teorema: Si \(f\) es derivable y tiene un máximo o mínimo relativo en \(x=x_0\) entonces \(f'(x_0)=0\).
Demostración
Suponiendo que \(f\) tiene un mínimo relativo en \(x=x_0\), se tiene lo siguiente:
- Si \(h>0\), entonces \(\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\ge 0 \Longrightarrow f'(x_0)\ge 0\)
- Si \(h<0\), entonces \(\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\le 0 \Longrightarrow f'(x_0)\le 0\)
Como \(0\le f'(x_0) \le 0\), entonces \(f'(x_0)=0\).
La prueba para el caso de un máximo relativo en \(x=x_0\) se realiza de forma análoga.
Observación:
El recíproco no es cierto, es decir, puede ocurrir que \(f'(x_0)=0\) y la función no tenga un máximo o mínimo relativo en \(x=x_0\).
Ejemplo: \(f(x)=x^3\)
\(f'(x)=3x^2, \ f'(0)=0\)
Aunque la derivada en \(x=0\) es \(0\), la función no tiene ni máximo ni mínimo relativo, como puede comprobarse observando su gráfica.
DEFINICIÓN
Se definen los puntos críticos de una función \(f\) como aquellos puntos en los que \(f'(x)=0\).
Observación:
Los máximos y los mínimos relativos de una función derivable se encuentran en los puntos críticos. Para determinar si un punto crítico \((x_0,f(x_0))\) es o no es máximo o mínimo relativo, pueden utilizarse los siguientes criterios:
Criterio 1:
- Si la función pasa de creciente a decreciente, entonces tiene un máximo relativo en \(x=x_0\).
- Si la función pasa de decreciente a creciente, entonces tiene un mínimo relativo en \(x=x_0\).
Mínimo relativo:
La función pasa de decreciente a creciente
Máximo relativo:
La función pasa de creciente a decreciente
A continuación, un ejercicio en el que se pide estudiar el crecimiento y hallar los máximos y los mínimos de una función:
Criterio 2:
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f''(x_0)<0\), entonces la función tiene un máximo relativo en \(x=x_0\).
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f''(x_0)>0\), entonces la función tiene un mínimo relativo en \(x=x_0\).
- Si \(f'(x_0)=0\) y \(f''(x_0)=0\), no podemos concluir nada.
Demostración del criterio 2
Supongamos que \(f'(x_0)=0\) y que \(f''(x_0)>0\).
\(f''(x_0)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)} h=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(x_0+h)} h\)
Como \(f''(x_0)>0\), entonces \(\displaystyle \frac{f'(x_0+h)} h>0\) para valores lo suficientemente pequeños de \(h\).
Observamos que:
- Si \(h>0\) entonces \(f'(x_0+h)>0\), es decir, \(f\) es creciente a la derecha de \(x_0\).
- Si \(h<0\) entonces \(f'(x_0+h)<0\), es decir, \(f\) es decreciente a la izquierda de \(x_0\).
Vemos que \(f\) pasa de decreciente a creciente y, aplicando el primer criterio, tiene un mínimo en \(x_0\).
Análogamente, se demuestra que \(f\) tiene un máximo en \(x_0\) cuando \(f''(x_0)<0\).
Ejemplo:
Halla los máximos y mínimos de la función \(f(x)=x^4-2x^2-5\)
\(f'(x)=4x^3-4x\)
\(f''(x)=12x^2-4\)
\(f'(x)=0\Rightarrow 4x^3-4x=0\)
\(4x(x^2-1)=0 \begin{array}{l} earrow\\ \searrow \end{array} \begin{array}{l} x=0 \\ \\ x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1 \end{array} \)
\(f(0)=-5\)
\(f(1)=f(-1)=-6\)
Puntos críticos: \((0,-5)\), \((1,-6)\), \((-1,-6)\)
En \(x=0\) se tiene que:
\(f'(0)=0\)
\(f''(0)=-4<0\)
Por tanto, \((0,-5) \) es un máximo relativo
En \(x=-1\) se tiene que:
\(f'(-1)=0 \)
\(f''(-1)=8>0\)
Por tanto, \((-1,-6) \) es un mínimo relativo
En \(x=1\) se tiene que:
\(f'(1)=0 \)
\(f''(1)= 8>0\)
Por tanto, \((1,-6) \) es un mínimo relativo