DEFINICIONES
- Un punto \((x_0,f(x_0))\) es un máximo absoluto o global de una función \(f\) si \(f(x)\le f(x_0)\) para todo \(x\in\mbox{Dom}(f)\)
- Un punto \((x_0,f(x_0))\) es un mínimo absoluto o global de una función \(f\) si \(f(x)\ge f(x_0)\) para todo \(x\in\mbox{Dom}(f)\)
Observación:
Si una función definida en un intervalo tiene un máximo o mínimo global, éste se puede encontrar:
- en los puntos críticos (coincidiendo con un máximo o mínimo relativo)
- en los extremos del intervalo
- o en los puntos en los que la función no es derivable.
Máximo y mínimo global coincidiendo con los puntos singulares
Máximo y mínimo global coincidiendo con puntos de no derivabilidad
Máximo y mínimo global coincidiendo con los extremos del intervalo
Función sin máximo ni mínimo global
Optimizar una función consiste en encontrar los máximos o mínimos absolutos.
En el siguiente ejemplo se presenta un problema que se resuelve mediante optimización de funciones.
Ejemplo: En un terreno de forma rectangular y de dimensiones \(10\mbox{ m} imes 5 \mbox{ m}\), se quiere construir una piscina como se indica en la figura. Halla el valor de la distancia \(x\) para que el área de la piscina sea máxima.
Solución
El área de la piscina puede obtenerse mediante la función:
\(A(x)=50-x^2-(5-x)\cdot (10-x)=50-x^2-(50-5x-10x+x^2)=-2x^2+15x\)
Observamos que \(\mbox{Dom}(A)=[0,5]\)
Hallemos los puntos críticos:
\(A'(x)=-4x+15\)
\(A'(x)=0 \iff -4x-15=0 \iff x=\displaystyle\frac {15} 4=3.75\)
\(A(3.75)=-2\cdot 3.75^2+15\cdot 3.75=28.125\)
Punto crítico: \((3.75,28.125)\)
Estudiemos el crecimiento de la función:
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline & (0,3.75) & (3.75,5) \\ \hline \mbox{signo de }A' & + & - \\ \hline \mbox{Comportamiento} & earrow & \searrow \\ \hline \end{array}\)
Como \(A\) pasa de creciente a decreciente, \((3.75,28.125)\) es un máximo relativo. Además es máximo absoluto pues en los extremos del intervalo \([0,5]\) se tiene que \(A(0)=0<28.125\) y \(A(5)=25<28.125\).
El área máxima es de \(28.125\) m\(^2\), que se consigue con una longitud \(x=3.75\) m.