Variables cualitativas
DIAGRAMA DE SECTORES
Los diagramas de sectores son gráficos en los que cada sector circular representa cada una de las modalidades de la variable de tal manera que el ángulo central del sector es directamente proporcional a la frecuencia de la modalidad:
\(\alpha_i=\displaystyle \frac{f_i}{N}\cdot 360^\mbox{o}\)
DIAGRAMA DE BARRAS
Los diagramas de barras son gráficos en los que las modalidades se distribuyen sobre el eje de abscisas y, sobre cada modalidad, se representa un rectángulo de anchura fija y de altura directamente proporcional a la frecuencia.
EJEMPLO
La siguiente tabla recoge información sobre el idioma principal de los asistentes a un congreso internacional:
| Idioma principal | Inglés | Francés | Español | Árabe |
| Número de asistentes | \(35\) | \(56\) | \(42\) | \(27\) |
Representa la información con un diagrama de sectores y con un diagrama de barras.
Solución
| Idiomas | \(f_i\) | \(\alpha_i=\displaystyle\frac{f_i}{160}\cdot 360^\mbox{o}\) |
| Inglés | \(35\) | \(\displaystyle\frac{35}{160}\cdot 360^\mbox{o}=78.75^\mbox{o}\) |
| Francés | \(56\) | \(\displaystyle\frac{56}{160}\cdot 360^\mbox{o}=126^\mbox{o}\) |
| Español | \(42\) | \(\displaystyle\frac{42}{160}\cdot 360^\mbox{o}=94.5^\mbox{o}\) |
| Árabe | \(27\) | \(\displaystyle\frac{27}{160}\cdot 360^\mbox{o}=60.75^\mbox{o}\) |
| \(160\) |
Diagrama de sectores:
Diagrama de barras:
Variables cuantitativas discretas con datos no agrupados
DIAGRAMA DE BARRAS
En el caso de diagramas de barras correspondientes a variables cuantitativas discretas, sobre el eje de abscisas se representan los valores de la variable y, para cada valor, se levanta un rectángulo de anchura fija y de altura directamente proporcional a la frecuencia.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Este tipo de gráfico se obtiene uniendo mediante segmentos los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos del diagrama de barras.
DIAGRAMA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
Suponiendo que la variable toma \(k\) valores distintos \(x_1\), \(x_2\), \(\dots\), \(x_k\), el diagrama de frecuencias acumuladas es la gráfica de una función constante a trozos que toma:
- el valor \(0\) en el intervalo \((-\infty,x_1)\)
- el valor \(F_i\) en los intervalos \([x_i,x_{i+1})\) con \(1<i<k\)
- el valor \(F_k\) en el intervalo \([x_k,+\infty)\)
EJEMPLO
A continuación se muestran los datos obtenidos en una encuesta sobre el número de automóviles que poseen las familias que viven en una urbanización:
2 1 0 2 2 1 1 2 0 1
0 2 1 2 1 3 2 1 0 1
Representa la información en un diagrama de barras, un polígono de frecuencias y un diagrama de frecuencias acumuladas.
Solución
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) |
| \(0\) | \(4\) | \(4\) |
| \(1\) | \(8\) | \(12\) |
| \(2\) | \(7\) | \(19\) |
| \(3\) | \(1\) | \(20\) |
| \(20\) |
Diagrama de barras y polígono de frecuencias:
Diagrama de frecuencias acumuladas:
Variables cuantitativas continuas o cuantitativas discretas con datos agrupados en intervalos
HISTOGRAMA
Es una representación gráfica en la que cada intervalo o clase se representa sobre el eje de abscisas y, sobre el intervalo se representa un rectángulo de tal manera que su área es proporcional a la frecuencia correspondiente al intervalo.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
En el caso de datos agrupados en intervalos, el polígono de frecuencias se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada rectángulo del histograma.
POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
El polígono de frecuencias acumuladas se obtiene uniendo el extremo derecho de la base superior de cada rectángulo del histograma de frecuencias acumuladas con la del siguiente rectángulo.
EJEMPLO 1
A partir de la siguiente tabla, correspondiente a las estaturas del alumnado de una clase, realiza un histograma, un polígono de frecuencias y un polígono de frecuencias acumuladas.
| Intervalos de estaturas | \([140,150)\) | \([150,160)\) | \([160,170)\) | \([170,180)\) | \([180,190)\) |
| Número de estudiantes | \(2\) | \(9\) | \(12\) | \(7\) | \(2\) |
Solución
|
Intervalos |
\(x_i\) |
\(f_i\) | \(F_i\) |
| \([140,150)\) | \(145\) | \(2\) | \(2\) |
| \([150,160)\) | \(155\) | \(9\) | \(11\) |
| \([160,170)\) | \(165\) | \(12\) | \(23\) |
| \([170,180)\) | \(175\) | \(7\) | \(30\) |
| \([180,190)\) | \(185\) | \(2\) | \(32\) |
| \(32\) |
Histograma y polígono de frecuencias:
Histograma de frecuencias acumuladas y polígono de frecuencias acumuladas:
EJEMPLO 2
A continuación se muestra información sobre el número de personas que han participado en un evento deportivo por rango de edades.
| Rangos de edades | \([10,15)\) | \([15,20)\) | \([20,30)\) | \([30,50)\) | \([50,80)\) |
| Número de participantes | \(20\) | \(33\) | \(42\) | \(24\) | \(16\) |
Realiza un histograma.
Solución
El área de las barras del histograma es proporcional a las frecuencias, por lo que, si \(L_i\) representa la amplitud de los intervalos y \(A_i\) representa la altura de las barras, se debe cumplir:
\(\displaystyle\frac{\mbox{Amplitud} \cdot \mbox{Altura}} {\mbox{frecuencia}}=k\hspace{2em} \) para cierta constante \(k\),
luego
\(\displaystyle\mbox{Altura}=\frac{k\cdot \mbox{frecuencia}} { \mbox{Amplitud} } \)
Tomando, por comodidad, \(k=30\) se obtienen para cada barra del histograma las alturas que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias:
|
Intervalos |
\(x_i\) |
\(f_i\) | Amplitud | Altura |
| \([10,15)\) | \(12.5\) | \(20\) | \(5\) | \(120\) |
| \([15,20)\) | \(17.5\) | \(33\) | \(5\) | \(198\) |
| \([20,30)\) | \(25\) | \(42\) | \(10\) | \(126\) |
| \([30,50)\) | \(40\) | \(24\) | \(20\) | \(36\) |
| \([50,80)\) | \(65\) | \(16\) | \(30\) | \(16\) |
| \(32\) |
