Cuartiles (\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\))
Son valores que dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales.
- El cuartil \(Q_1\) está por encima del \(25\)% de la población.
- El cuartil \(Q_2\) está por encima del \(50\)% de la población y coincide, por tanto con la mediana (\(Q2=Me\)).
- El cuartil \(Q_3\) está por encima del \(75\)% de la población.
Percentiles (\(p_k\))
Son valores que dividen al conjunto de datos en cien partes iguales.
El percentil \(p_k\) está por encima del \(k\)% de la población.
Observación:
\(Q_2=p_{50}=Me\)
\(Q_1=p_{25}\)
\(Q_3=p_{75}\)
EJEMPLO 1
Halla los cuartiles correspondientes a los siguientes conjuntos de datos:
a) 30 32 41 45 41 35 38 32 40 28 27 44
b) 32 39 42 35 37 33 40
Solución
a) Los 12 datos ordenados de menor a mayor quedarían de la siguiente manera:
27 28 30 32 32 35 38 40 41 41 44 45
\(\displaystyle \frac 1 4 \cdot 12=3 \longrightarrow Q_1=\frac{30+32} 2=31\)
\(\displaystyle \frac 1 2 \cdot 12=6 \longrightarrow Q_2=Me=\frac{35+38} 2=36.5\)
\(\displaystyle \frac 3 4 \cdot 12=9 \longrightarrow Q_1=41\)
b) Los 7 datos ordenados quedan de la siguiente forma:
32 33 35 37 39 40 42
\(\displaystyle \frac 1 4 \cdot 7=1.75 \longrightarrow Q_1=33\)
\(\displaystyle \frac 1 2 \cdot 7=3.5 \longrightarrow Q_2=Me=37\)
\(\displaystyle \frac 3 4 \cdot 7=5.25 \longrightarrow Q_3=40\)
EJEMPLO 2
A partir de los datos de la siguiente tabla, que recoge los puntos obtenidos por los participantes en una prueba de razonamiento lógico,
| Puntuación | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| Número de participantes | \(5\) | \(12\) | \(25\) | \(32\) | \(26\) | \(14\) | \(6\) | \(5\) |
elabora una tabla de frecuencias y calcula:
a) Los cuartiles.
b) Los percentiles \(p_{15}\), \(p_{30}\) y \(p_{80}\).
c) El percentil correspondiente a una puntuación de 7.
Solución
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(F_i\) | \(H_i\) |
| \(3\) | \(5\) | \(5\) | \(0.04\) |
| \(4\) | \(12\) | \(17\) | \(0.136\) |
| \(5\) | \(25\) | \(42\) | \(0.336\) |
| \(6\) | \(32\) | \(74\) | \(0.592\) |
| \(7\) | \(26\) | \(100\) | \(0.8\) |
| \(8\) | \(14\) | \(114\) | \(0.912\) |
| \(9\) | \(6\) | \(120\) | \(0.96\) |
| \(10\) | \(5\) | \(125\) | \(1\) |
| \(125\) |
a)
\(H_i\) supera a 0.25 para el valor \(5\) de la variable \(\longrightarrow Q_1=5\)
\(H_i\) supera a 0.5 para el valor \(6\) de la variable \(\longrightarrow Q_2=Me=6\)
\(H_i\) supera a 0.75 para el valor \(7\) de la variable \(\longrightarrow Q_3=7\)
b)
\(H_i\) supera a 0.15 para el valor \(5\) de la variable \(\longrightarrow p_{15}=5\)
\(H_i\) supera a 0.30 para el valor \(5\) de la variable \(\longrightarrow p_{30}=5\)
\(H_i\) iguala a 0.80 para el valor \(7\) de la variable \(\longrightarrow p_{80}=(7+8)/2=7.5\)
c)
A 7 le corresponde una frecuencia acumulada relativa \(H_i=0.8\), mientras que a 6 le corresponde \(H_i=0.592\). Por tanto,
\(p_k=7\) para cualquier \(k\in\{60,61,\dots,79 \}\)
Diagramas de caja
La longitud de los bigotes no debe ser superior a \(1.5\cdot\mbox{ancho de la caja}\)
Los datos que están más allá de los bigotes se representan con asteriscos.