Media aritmética:
La media aritmética se obtiene sumando todos los datos y dividiendo por el número total de datos, \(N\).
- Suponiendo que cada dato aparece una sola vez o suponiendo que los valores \(x_i\) pueden estar repetidos, la media puede obtenerse mediante:
\(\overline x=\displaystyle \frac{x_1+x_2+\dots+x_N} N=\frac {\displaystyle \sum_{i=1}^N x_i}N\)
- Suponiendo que la variable toma \(k\) valores distintos, \(x_1\), \(x_2\), \(\dots\), \(x_k\), o en caso de que los \(x_i\) sean las marcas de clase de una variable agrupada en intervalos, la media viene dada por:
\(\overline x=\displaystyle \frac {\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i\cdot f_i}N\)
siendo las \(f_i\) las frecuencias absolutas asociadas a los \(x_i\).
Moda
Es el valor \(x_i\) que tiene mayor frecuencia.
Mediana
Es el valor de la variable que está por encima del \(50\)% de la población.
Observación:
1) El cálculo de la media y la mediana puede realizarse directamente si hay pocos datos. A partir de los datos ordenados, la mediana se puede calcular de la siguiente manera:
- La mediana es el valor central si hay un número impar de datos
- La mediana es la media de los dos valores centrales si el número de datos es par.
2) En caso de un volumen de datos mayor o en caso de datos agrupados en intervalos puede resultar más conveniente organizar los datos en una tabla de frecuencias y utilizar ésta como base para realizar los cálculos.
EJEMPLO 1
Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes en el examen de Matemáticas:
4 7 8 9 6 3 5 6 6 7
Calcula la media, la moda y la mediana.
Halla, además, la mediana en los siguientes casos:
1) Las calificaciones son: \(\hspace{1em} 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 6 \ 7 \ 7 \ 7 \ 8 \ 9\)
2) Las calificaciones son: \(\hspace{1em} 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 6 \ 7 \ 7 \ 7 \ 8 \)
Solución
\(X=\)"Calificaciones obtenidas en el examen de Matemáticas"
Media:
\(\overline x=\displaystyle\frac{4+7+8+9+6+3+5+6+6+7}{10}=\frac{61}{10}=6.1\)
Que la media sea \(6.1\) significa que, por término medio, las calificaciones obtenidas por los estudiantes se sitúan en torno a \(6.1\).
Moda:
\(Mo=6\)
Que la moda sea \(6\) significa que \(6\) es calificación más frecuente.
Mediana:
Los datos ordenados son:
\(3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 7 \ 7 \ 8 \ 9\)
La mitad de \(10\) es \(5\), así que los datos pueden dividirse en dos partes iguales como:
\(3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 6 \hspace{1em} 6 \ 7 \ 7 \ 8 \ 9\)
y el valor que está por encima de la primera mitad es \(6\).
Que \(6\) sea la mediana se interpreta como que al menos el 50% de los estudiantes tienen una calificación menor o igual a \(6\).
1) Si las calificaciones son
\(3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 6 \hspace{1em} 7 \ 7 \ 7 \ 8 \ 9\)
cualquier valor entre 6 y 7 estaría por encima del 50% de los datos y se definiría la mediana como la media de estos dos valores:
\(Me=\displaystyle \frac {6+7}2=6.5\)
2) Si las calificaciones son:
\(3 \ 4 \ 5 \ 6 \hspace{1em} \ 6 \hspace{1em} 7 \ 7 \ 7 \ 8 \)
la mitad de la población son \(\frac 1 2 \cdot 9=4.5\) datos, por lo que el dato central es la mediana: \(\hspace{1em} Me=6\)
EJEMPLO 2
Los datos recogidos en una encuesta sobre el número de días a la semana que practican algún tipo de deporte un grupo de personas se muestran en la siguiente tabla:
| Número de días a la semana | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
| Número de personas | \(5\) | \(6\) | \(10\) | \(8\) | \(2\) |
Haz una tabla de frecuencias y calcula la media, la moda y la mediana.
Solución
\(X=\)"Número de días a la semana que una persona practica deporte"
| \(x_i\) | \(f_i\) | \(x_i\cdot f_i\) | \(F_i\) | \(H_i\) |
| \(0\) | \(5\) | \(0\) | \(5\) | \(0.16\) |
| \(1\) | \(6\) | \(6\) | \(11\) | \(0.35\) |
| \(2\) | \(10\) | \(20\) | \(21\) | \(0.68\) |
| \(3\) | \(8\) | \(24\) | \(29\) | \(0.94\) |
| \(5\) | \(2\) | \(10\) | \(31\) | \(1\) |
| \(20\) | \(60\) |
Media:
\(\overline x=\displaystyle \frac{\sum x_i\cdot f_i}N=\frac{60}{31}=1.94\)
Que la media sea \(1.94\) significa que por término medio, las personas practican deporte en torno a 2 días a la semana
Moda:
\(Mo=2\)
Que la moda sea \(2\) significa que lo más frecuente es practicar deporte dos veces en semana.
Mediana:
Primera forma: \(H_i\) supera o iguala a \(0.5\) para el valor 2 de la variable:
\(Me=2\)
Segunda forma: Los datos ordenados quedan de la siguiente manera:
\(0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 5 \ 5\)
Como son 31 datos, la mitad son 15.5, así que el dato que ocupa el lugar 16 es la mediana:
\(\underbrace{0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2}_{15 \mbox{ datos}} \hspace{-0.1cm} \underset{ \begin{array}{cc} \uparrow \\ Me=2 \end{array} }{2} \hspace{-0.1cm} \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 2 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 3 \ 5 \ 5\)
Que la mediana sea \(2\) significa que al menos la mitad de las personas del grupo practican deporte 2 días a la semana o menos.
EJEMPLO 3
La siguiente tabla recoge información sobre la distancia recorrida (en km) por los vehículos de una empresa de paquetería en un día.
| Intervalo de distancia (km) | \([50,100)\) | \([100,150)\) | \([150,200)\) | \([200,250)\) |
| Número de vehículos | \(5\) | \(16\) | \(13\) | \(6\) |
Calcula la media, el intervalo modal y la mediana.
Solución
|
Intervalos |
\(x_i\) |
\(f_i\) | \(x_i\cdot f_i\) | \(F_i\) | \(H_i\) |
| \([50,100)\) | \(75\) | \(5\) | \(375\) | \(5\) | \(0.125\) |
| \([100,150)\) | \(125\) | \(16\) | \(2000\) | \(21\) | \(0.525\) |
| \([150,200)\) | \(175\) | \(13\) | \(2275\) | \(34\) | \(0.85\) |
| \([200,250)\) | \(225\) | \(6\) | \(1350\) | \(40\) | \(1\) |
| \(40\) | \(6000\) |
Media:
\(\overline x=\displaystyle \frac{\sum x_i\cdot f_i}{N}=\frac{6000}{40}=150\)
Intervalo modal: \(\hspace{1em} [100,150)\)
Mediana:
La mediana se encuentra en el primer intervalo en el que \(H_i\) supera el valor \(0.5\), es decir, en el intervalo \([100,150)\).
La mediana es el valor de la variable que se corresponde con una frecuencia acumulada de \(N/2\), como se indica en la figura.
Razonando sobre la ella, vemos que los triángulos \(ABC\) y \(ADE\) son semejantes, por lo que:
\(\displaystyle \frac {F_2-F_1}{N/2-F_1}=\frac{150-100}{Me-100}\)
\(\displaystyle \frac {21-5}{20-5}=\frac{150-100}{Me-100}\)
\(\displaystyle \frac {16}{15}=\frac{50}{Me-100}\)
\(Me-100=\displaystyle \frac {50\cdot 15}{16}=46.875\)
\(Me=100+46.875=146.875\)
