Sucesos dependientes e independientes
Dos sucesos \(A\) y \(B\) son independientes si \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
En caso contrario, decimos que los sucesos \(A\) y \(B\) son dependientes.
Observaciones:
1) Si \(P(B)\cancel{=} 0\), que \(A\) y \(B\) sean independientes equivale a que \(P(A)=P(A|B)\).
En efecto:
\(A\) y \(B\) son independientes \(\iff P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)\) \(\iff \displaystyle P(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A|B)\)
Análogamente, si \(P(A)\cancel{=} 0\) la independencia de los sucesos \(A\) y \(B\) equivale a que \(P(B)=P(B|A)\).
Esto quiere decir que, cuando dos sucesos son independientes, el hecho que ocurra uno de ellos, no influye en la probabilidad del otro.
2) Si la probabilidad de \(A\) o de \(B\) es \(0\), entonces \(A\) y \(B\) son siempre independientes pues \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0\).
Ejemplo: volvamos al ejemplo de las tarjetas numeradas con diferentes formas,
en el que consideramos los sucesos:
\(A=\)"Extraer un número par"
\(B=\)"Extraer una ficha triangular"
\(C=\)"Extraer una ficha cuadrada"
\(D=\)"Extraer una ficha circular"
y obtuvimos las siguientes probabilidades:
\(\begin{array}{l} P(A)=\displaystyle\frac 4 8=\frac 1 2 \\ P(B)=\displaystyle\frac 3 8 \\ P(C)=\displaystyle\frac 4 8=\frac 1 2 \\ P(D)=\displaystyle\frac 1 8 \end{array}\) \(\hspace{2em}\begin{array}{l} P(A\cap B)=\displaystyle \frac {1} {8} \\ P(A\cap C)=\displaystyle \frac {2} {8}=\frac 1 4 \\ P(A\cap D)=\displaystyle \frac {1} {8} \end{array}\) \(\hspace{2em} \begin{array}{l} P(A|B)=\displaystyle \frac {P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/8}{3/8}=\frac 1 3 \\ P(A|C)=\displaystyle \frac {P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac 2 4=\frac 1 2 \\ P(A|D)=\displaystyle \frac {P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{1/8}{1/8}=1\end{array} \)
Observamos que \(A\) y \(C\) son independientes puesto que \(P(A)=\displaystyle\frac 1 2=P(A|C)\).
Llegamos a la misma conclusión teniendo en cuenta que \(P(A\cap C)=\displaystyle\frac 1 4\) coincide con \(\displaystyle P(A)\cdot P(C)=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2=\frac 1 4\).
Por otra parte, vemos que \(A\) y \(B\) son dependientes, al igual que \(A\) y \(D\) puesto que \(P(A|B)\cancel{=} P(A)\) y \(P(A|D)\cancel{=} P(A)\).
Ejemplo: Lanzamos dos monedas. Halla la probabilidad de obtener dos caras.
Solución 1
Distingamos las monedas como moneda 1 y moneda 2 y consideremos los sucesos:
\(C_1=\)"Obtener cara en la moneda 1"
\(C_2=\)"Obtener cara en la moneda 2"
La probabilidad que nos piden es \(P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\cdot P(C_2|C_1)\).
Como \(C_1\) y \(C_2\) son sucesos independientes, ya que el resultado obtenido en una de las monedas no influye en el resultado obtenido en la otra, tenemos que \(P(C_2|C_1)=P(C_2)\) y, por tanto:
\(\hspace{2em} \displaystyle P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\cdot P(C_2)=\frac 1 2 \cdot \frac 1 2=\frac 1 4\)
Solución 2
La experiencia puede considerarse como una experiencia regular en la que el espacio muestral está formado por los 4 resultados indicados en la siguiente tabla:
\(\hspace{2em} \begin{array}{|c|c|c|}\hline \mbox{ Moneda 2 \ Moneda 1 }& \mbox{Cara} & \mbox{Cruz} \\ \hline \mbox{Cara} & CC & C+ \\ \hline \mbox{Cruz} & +C & ++ \\ \hline \end{array}\)
Si \(CC=\)"Obtener dos caras", aplicando la regla de Laplace:
\(\hspace{2em} P(CC)=\displaystyle\frac 1 4\)