Teorema de Bayes
Supongamos que \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\) es una partición del espacio muestral de una experiencia aleatoria. Si se sabe que ha sucedido un suceso \(S\) y se conocen las probabilidades \(P(A_i)\) y \(P(S|A_i)\) para todo \(i\in\{1,2,\dots,n\}\), las probabilidades condicionadas \(P(A_i|S)\) vienen dadas por la expresión:
\(\hspace{2em} \displaystyle P(A_i|S)=\frac{P(A_i)\cdot P(S|A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(A_k)\cdot P(S|A_k)}\)
A las probabilidades \(P(A_i)\) se las llama probabilidades a priori.
Las probabilidades \(P(A_i|S)\) son las probabilidades a posteriori.
Observación:
La demostración del teorema es inmediata a partir del teorema de la probabilidad total y de la fórmula de la probabilidad condicionada.
Continuemos con el mismo ejemplo del dado y las urnas con el que hemos estado trabajando anteriormente.
Ejemplo (continuación 2): Tenemos un dado y dos urnas (urna \(1\) y urna \(2\)). En la urna \(1\) hay 3 bolas blancas y 2 bolas negras, mientras que en la urna \(2\) hay 2 bolas blancas y dos negras. Se lanza el dado y, si se obtiene un seis, se extrae una bola de la urna \(1\); en caso contrario, se extrae una bola de la urna \(2\). Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:
e) Haber obtenido un seis en el dado si se sabe que la bola extraída ha sido negra.
f) Haber obtenido un seis en el dado si se sabe que la bola extraída ha sido blanca.
Solución
Aplicando la fórmula de Bayes obtenemos:
e) \(P(S|N)=\displaystyle \frac{P(S)\cdot P(N|S)}{P(S)\cdot P(N|S)+P(\overline S)\cdot P(N|\overline S)}=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac 1 6\cdot \frac 2 5}{\displaystyle \frac 1 6\cdot \frac 2 5+\frac 5 6 \cdot \frac 1 2}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac 1 {15}}{\displaystyle \frac 1{15}+\frac 5 {12}}\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle \frac 4 {4+25}=\frac 4 {29}\)
f) \(P(S|B)=\displaystyle \frac{P(S)\cdot P(B|S)}{P(S)\cdot P(B|S)+P(\overline S)\cdot P(B|\overline S)}=\)
\(\hspace{2em}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac 1 6\cdot \frac 3 5}{\displaystyle \frac 1 6\cdot \frac 3 5+\frac 5 6 \cdot \frac 1 2}=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac{\displaystyle \frac 1 {10}}{\displaystyle \frac 1{10}+\frac 5 {12}}\)
\(\hspace{2em} = \displaystyle \frac 6 {6+25}=\frac 6 {31}\)