Conceptos básicos
Experiencia aleatoria: es aquella cuyo resultado depende del azar.
Ejemplos:
- Lanzar un dado y anotar el resultado
- Extraer una carta de una baraja y anotar la carta extraída
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.
Se suele denotar mediante la letra \(E\).
Ejemplos:
- Lanzamiento de una moneda: \(E=\{Cara,Cruz\}\)
- Lanzamiento de un dado: \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Suceso: un suceso es un subconjunto del espacio muestral \(E\).
Ejemplo: Al lanzar un dado, algunos ejemplos de sucesos son:
\(S_1=\{1,2,3\}\)
\(S_2=\{5\}\)
\(S_3=\{3,5\}\)
Observación:
Si el espacio muestral tiene \(n\) elementos, entonces hay \(2^n\) posibles sucesos.
Demostración
El número de subconjuntos de \(E\) con exactamente \(k\) elementos es \(\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)\).
El número total de subconjuntos de \(E\) es, por tanto, \(\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)\)
Por el binomio de Newton sabemos que
\(\hspace{2em}\hspace{2em} (1+1)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)1^k\cdot 1^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)\),
de donde obtenemos que el número total de subconjuntos es \(\displaystyle\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array} \right)=2^n\).
Tipos de sucesos
Los sucesos de un espacio muestral \(E\) pueden ser de diferentes tipos:
Sucesos elementales, individuales o casos: están formados por un único resultado del espacio muestral \(E\).
Ejemplo: al lanzar un dado, son sucesos elementales los siguientes:
\(A_1=\{1\}\), \(A_2=\{2\}\), \(A_3=\{3\}\)
\(A_4=\{4\}\), \(A_5=\{5\}\), \(A_6=\{6\}\)
Sucesos compuestos: están formados por varios sucesos elementales.
Ejemplo: al lanzar un dado, son sucesos compuestos los siguientes:
\(A=\)"Obtener un número par"\(=\{2,4,6\}\)
\(B=\)"Obtener más de 4"\(=\{5,6\}\)
Suceso seguro: es el que está formado por todos los sucesos elementales. Coincide con el espacio muestral \(E\).
Ejemplo: al lanzar un dado, el suceso seguro es \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\).
Suceso imposible: es el que no tiene ningún resultado. Se representa con el símbolo \(\emptyset\).
Ejemplo: al lanzar un dado, un ejemplo de suceso imposible es
\(C=\)"Obtener más de 10"
Operaciones con sucesos
Unión de dos sucesos
Se define la unión de los sucesos \(A\) y \(B\) de un espacio muestral como el suceso formado por todos los casos de \(A\) y todos los casos de \(B\).
Se representa mediante \(A\cup B\).
Intersección de sucesos
Se define la intersección de los sucesos \(A\) y \(B\) de un espacio muestral como el suceso formado por todos los casos que son al mismo tiempo de \(A\) y de \(B\).
Se representa mediante \(A\cap B\).
En relación con la intersección se define lo siguiente:
- Dos sucesos \(A\) y \(B\) son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible, es decir, \(A\cap B=\emptyset\). Esto quiere decir que los sucesos no pueden darse simultáneamente.
- Dos sucesos \(A\) y \(B\) son compatibles cuando hay algún caso en su intersección, es decir, \(A\cap B\cancel{=} \emptyset\).
Diferencia de sucesos
Se define la diferencia de dos sucesos \(A\) y \(B\) de un espacio muestral como el suceso formado por todos los casos de \(A\) que no son de \(B\).
Se representa mediante \(A\setminus B\).
Diferencia de simétrica
Se define la diferencia simétrica de dos sucesos \(A\) y \(B\) de un espacio muestral como el suceso formado por todos los casos de \(A\) que no son de \(B\) y todos los casos de \(B\) que no son de \(A\).
Se puede expresar mediante \((A\cup B)\setminus (A\cap B)\) o bien \((A\setminus B)\cup (B\setminus A)\).
Suceso complementario o contrario
Se llama suceso complementario o contrario de un suceso \(A\) al suceso formado por todos los casos del espacio muestral \(E\) que no están en \(A\).
Se representa mediante \(A^c\) o \(\overline{A}\).
Ejemplo: Lanzamos un dado y anotamos su puntuación. Consideramos los sucesos \(A=\)"Obtener menos de 4" y \(B=\)"Obtener un múltiplo de tres". Halla los siguientes sucesos:
a) \(A\cup B\)
b) \(A\cap B\)
c) \(\overline A\)
d) \(\overline B\)
e) \(A\setminus B\)
f) \(B\setminus A\)
g) La diferencia simétrica de \(A\) y \(B\).
Solución
\(A=\)"Obtener menos de 4"\(=\{1,2,3\}\)
\(B=\)"Obtener un múltiplo de 3"\(=\{3,6\}\)
a) \(A\cup B=\{1,2,3,6\}\)
b) \(A\cap B=\{3\}\)
c) \(\overline A=\{4,5,6\}\)
d) \(\overline B=\{1,2,4,5\}\)
e) \(A\setminus B=\{1,2\}\)
f) \(B\setminus A=\{6\}\)
g) \((A\setminus B)\cup (B\setminus A)=\{1,2,6\}\)
Propiedades de las operaciones con sucesos
Distributivas
\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)
\(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
Simplificación:
\(A\cup(B\cap A)=A\)
\(A\cap(B\cup A)=A\)
Complementario:
\(\overline{\overline{A}}=A\)
Leyes de De Morgan:
\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}\)
\(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}\)