Dado un espacio muestral \(E\), se llama probabilidad a una aplicación \(P\) que asocia a cada suceso del espacio muestral un número real y que satisface además los siguientes axiomas:

1) \(P(A)\ge 0\)

2) \(P(E)=1\)

3) Si \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\) son sucesos incompatibles dos a dos, entonces:

\(\hspace{2em} P(A_1\cup A_2\cup\dots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)\)

Como consecuencia de los axiomas anteriores, la probabilidad cumple las siguientes propiedades:

• \(P(\overline A)=1-P(A)\)

• \(P(\emptyset)=0\)

• \(0\le P(A)\le 1\)

• \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

• Si \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\) es una partición de \(E\), es decir, los \(A_i\) son sucesos de \(E\) incompatibles dos a dos tales que \(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n=E\), entonces se verifica que:

\(\hspace{2em}\hspace{2em} P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)=1\)

Considerando una experiencia aleatoria que se repite \(N\) veces, podemos definir los siguientes conceptos relacionados con un suceso \(A\):

Frecuencia absoluta del suceso \(A\): es el número de veces que se produce dicho suceso. Se denota con \(f(A)\)

Frecuencia relativa del suceso \(A\): es el cociente entre la frecuencia absoluta de \(A\) y el número de veces que se repite la experiencia aleatoria.

\(\hspace{2em} f_r(A)=\displaystyle\frac{f(A)}N\)

Ley de los grandes números

La ley de los grandes números dice que la probabilidad de un suceso \(A\) es el límite de las frecuencias relativas del suceso cuando \(N\) tiende a infinito:

\(\hspace{2em} \displaystyle P(A)=\lim_{N\rightarrow +\infty} f_r(A)\)

Ejemplo: Se lanza una moneda muchas veces y se anota el número de veces que se obtiene cara o cruz para diferentes valores del número de lanzamientos. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:

\(\begin{array}{l}C=\mbox{"Obtener cara"} \\ +=\mbox{"Obtener cruz"} \\ N\rightarrow \mbox{Número de veces que se lanza la moneda} \end{array}\) \(\hspace{2em} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N & f(C) & f(+) &  f_r(C) & f_r(+) \\ \hline 10 & 6 & 4 & 0.6 & 0.4 \\ \hline 100 & 55 & 45 & 0.55 & 0.45 \\ \hline 1000 & 510 & 490 & 0.51 & 0.49 \\ \hline  \end{array}\)

Vemos que las frecuencias relativas de \(C\) y \(+\) se aproximan cada vez más al valor 0.5 conforme aumenta el valor de \(N\).

Esto concuerda con la ley de los grandes números y con que \(P(C)=P(+)=0.5\).

La ley de los grandes números permite estimar probabilidades de sucesos en cualquier tipo de experiencia aleatoria.

En el caso de experiencias aleatorias regulares, es decir, aquellas en las que los sucesos elementales son equiprobables, puede ser de gran utilidad el siguiente resultado.

Regla de Lapace

En una experiencia aleatoria en la que los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso \(A\) viene dada por:

\(\hspace{2em} P(A)=\displaystyle\frac{\mbox{número de casos favorables a } A }{\mbox{número de casos posibles}}\)

Ejemplo: Se lanza un dado y se anota el resultado. Halla la probabilidad de obtener un número primo.