Probabilidad condicionada
Dados dos sucesos \(A\) y \(B\), se llama probabilidad de \(A\) condicionada a \(B\), y se escribe \(P(A|B)\), a la probabilidad de \(A\) cuando sabemos que ha ocurrido \(B\).
Suponiendo que \(P(B)\cancel{=} 0\), la probabilidad de \(A\) condicionada a \(B\) puede obtenerse mediante la siguiente fórmula:
\( \hspace{2em} P(A | B)=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Observaciones
1) Calcular una probabilidad condicionada equivale a calcular una probabilidad en un espacio muestral reducido al suceso respecto al que se condiciona.
Para hallar \(P(A|B)\), el espacio muestral en este caso sería \(E'=B\). Suponiendo que se dan las circunstancias para poder aplicar la regla de Laplace y que en \(E\) hay \(n\) casos posibles, tendríamos lo siguiente:
\(\hspace{2em} P(A|B)=\displaystyle\frac{\mbox{número de casos favorables a }A \mbox{ en } E'}{\mbox{número total de casos en }E'}\) \(=\displaystyle\frac{\mbox{número de casos en } A\cap B } {\mbox{número de casos en } B}=\frac{\displaystyle\frac{\mbox{número de casos en } A\cap B}n } {\displaystyle\frac{\mbox{número de casos en } B}n }=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
con lo que vemos que la fórmula de la probabilidad condicionada tiene sentido.
2) Si conocemos \(P(A)\) y \(P(A|B)\) podemos calcular la probabilidad de la intersección mediante:
\(\hspace{2em} P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)\)
La generalización de este resultado se conoce como teorema de la probabilidad compuesta.
En el caso de tres sucesos \(A\), \(B\), \(C\) se tiene: \(\hspace{2em} P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B)\)
Y con \(n\) sucesos \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\): \(\hspace{2em} P(A_1\cap A_2\ldots \cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1\cap A_2)\cdot\ldots \cdot P(A_n|A_1\cap A_2\cap \ldots \cap A_{n-1})\)
Ejemplo: Extraemos una ficha de una bolsa en la que hay fichas con forma triangular, cuadrada y circular, numeradas del 1 al 8, como se indica a continuación:
Consideramos los siguientes sucesos:
\(A=\)"Extraer un número par"
\(B=\)"Extraer una ficha triangular"
\(C=\)"Extraer una ficha cuadrada"
\(D=\)"Extraer una ficha circular"
a) Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores.
b) Calcula las probabilidades condicionadas \(P(A|B)\), \(P(A|C)\) y \(P(A|D)\) aplicando la regla de Laplace en un espacio muestral reducido.
c) Calcula las probabilidades condicionadas del apartado anterior utilizando la fórmula.
Solución
a) Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores.
\(P(A)=\displaystyle\frac 4 8=\frac 1 2\)
\(P(B)=\displaystyle\frac 3 8\)
\(P(C)=\displaystyle\frac 4 8=\frac 1 2\)
\(P(D)=\displaystyle\frac 1 8\)
b) Calcula las probabilidades condicionadas \(P(A|B)\), \(P(A|C)\) y \(P(A|D)\) aplicando la regla de Laplace en un espacio muestral reducido.
\(P(A|B)=\displaystyle \frac 1 3\)
\(P(A|C)=\displaystyle\frac 2 4=\frac 1 2\)
\(\mbox{ }\\ P(A|D)=\displaystyle \frac 1 1=1\)
c) Calcula las probabilidades condicionadas del apartado anterior utilizando la fórmula.
\(P(A\cap B)=\displaystyle \frac {1} {8} \)
\(P(A\cap C)=\displaystyle \frac {2} {8}=\frac 1 4 \)
\(P(A\cap D)=\displaystyle \frac {1} {8} \)
\(P(A|B)=\displaystyle \frac {P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/8}{3/8}=\frac 1 3\)
\(P(A|C)=\displaystyle \frac {P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac 2 4=\frac 1 2\)
\(P(A|D)=\displaystyle \frac {P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{1/8}{1/8}=1 \)
Obtenemos las mismas probabilidades que en el apartado anterior, como es de esperar.