Teorema de la probabilidad total
Sea \(A_1\), \(A_2\), \(\dots\), \(A_n\) una partición del espacio muestral \(E\), es decir, los \(A_i\) son sucesos de \(E\) incompatibles dos a dos tales que \(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} A_i=E\). Si se conocen las probabilidades \(P(S|A_i)\) para todo \(i\in\{1,2,\dots,n\}\), la probabilidad de cualquier suceso \(S\), puede calcularse mediante la fórmula:
\(\hspace{2em} P(S)=\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A_i )\cdot P(S|A_i)\)
Demostración
\(S\) puede expresarse de la siguiente manera:
\(S=S\cap E=S\displaystyle\cap\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right)=\bigcup_{i=1}^n (A_i\cap S)\)
Como los \(A_i\) son incompatibles dos a dos, tenemos entonces que los \(A_i\cap S\) también lo son y, por tanto:
\(\displaystyle P(S)=P\left( \bigcup_{i=1}^n (A_i\cap S) \right)=\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A_i \cap S)=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A_i )\cdot P(S|A_i)\)
Volvamos al ejemplo del dado y las urnas para calcular en esta ocasión probabilidad mediante la aplicación de este resultado.
Ejemplo (continuación 1): Tenemos un dado y dos urnas (urna \(1\) y urna \(2\)). En la urna \(1\) hay 3 bolas blancas y 2 bolas negras, mientras que en la urna \(2\) hay 2 bolas blancas y dos negras. Se lanza el dado y, si se obtiene un seis, se extrae una bola de la urna \(1\); en caso contrario, se extrae una bola de la urna \(2\). Halla las probabilidades de los siguientes sucesos:
c) Extraer una bola negra.
d) Extraer una bola blanca.
Solución
Consideremos de nuevo los sucesos:
\(S=\)"Obtener seis en el dado"
\(B=\)"Extraer una bola blanca"
\(N=\)"Extraer una bola negra"
Observamos que los sucesos \(S\) y \(\overline S\) son una partición del espacio muestral. Por tanto, aplicando el teorema de la probabilidad total:
c) \(P(N)=P(S)\cdot P(N|S)+P(\overline S)\cdot P(N|\overline S)=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac 1 6\cdot \frac 2 5+ \frac 5 6 \cdot \frac 1 2=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac 1 {15}+\frac 5{12}=\frac{4}{60}+\frac{25}{60}=\frac{29}{60}\)
d) \(P(B)=P(S)\cdot P(B|S)+P(\overline S)\cdot P(B|\overline S)=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac 1 6\cdot \frac 3 5+ \frac 5 6 \cdot \frac 1 2=\)
\(\hspace{2em} =\displaystyle \frac 1 {10}+\frac 5{12}=\frac{6}{60}+\frac{25}{60}=\frac{31}{60}\)
Forma alternativa: \(\hspace{1em} P(B)=1-P(N)=\displaystyle 1-\frac{29}{60}=\frac {31}{60}\)