Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma:
\(ax^2+bx+c=0\)
siendo \(a,b,c\in\mathbb R\) con \(a\cancel{=} 0\)
Las soluciones de la ecuación se obtienen aplicando la fórmula:
\(x=\displaystyle \frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Número de soluciones:
- Si \(b^2-4ac<0:\hspace{1em}\) la ecuación no tiene soluciones reales
- Si \(b^2-4ac=0:\hspace{1em}\) la ecuación tiene una solución real (doble)
- Si \(b^2-4ac>0:\hspace{1em}\) la ecuación tiene dos soluciones reales
A \(\Delta=b^2-4ac\) se le llama discriminante.
Observaciones:
1) Generalmente, las ecuaciones de segundo grado no vienen expresadas de la forma estándar \(ax^2+bx+c=0\). Debemos transformarlas para obtener una ecuación equivalente que adopte dicha forma siguiendo pasos similares a los indicados para las ecuaciones de primer grado.
2) En ocasiones, a partir de una ecuación aparentemente de segundo grado se llega a una ecuación de menor grado, que debe resolverse como corresponda.
Ecuaciones incompletas
1) Ecuaciones del tipo \(ax^2+bx=0\):
Se resuelven extrayendo factor común:
\(x(ax+b)=0 \Longrightarrow x=0 \ \) ó \( \ ax+b=0 \Longrightarrow x_1=0 \hspace{1em} x_2=-\displaystyle \frac b a\)
2) Ecuaciones del tipo \(ax^2+c=0\):
Se resuelven despejando \(x^2:\hspace{2em}\) \(x^2=-\displaystyle\frac c a \)
- Si \(-\displaystyle \frac c a<0\) la ecuación no tiene solución
- Si \(-\displaystyle\frac c a\ge 0\) las soluciones son \( x=\pm\sqrt{-\displaystyle\frac c a}\)