Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia.
Estrategias para resolver ecuaciones exponenciales:
1) Ecuaciones de la forma \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)
En este caso debe verificarse: \(f(x)=g(x)\), que es una ecuación más sencilla que la original.
Ejemplo: \(2^{x+1}=2^4\)
\(x+1=4\)
\(x=4-1=3\)
2) Ecuaciones de la forma \(a^{f(x)}=b^{g(x)}\)
Aquí pueden tomarse logaritmos para llegar a una ecuación más simple:
\(\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}\)
\(f(x)\log a=g(x)\log b\)
En el caso particular de una ecuación de la forma \(a^{f(x)}=b\), también puede aplicarse la definición de logaritmo:
\(f(x)=\log_a b\)
Ejemplo: \(2^{x+1}=3\)
Tomando logaritmo decimal:
\(\log 2^{x+1}=\log 3\)
\((x+1)\log 2=\log 3\)
\(x+1=\displaystyle \frac{\log 3}{\log 2}\)
\(x=-1+\displaystyle \frac{\log 3}{\log 2}\approx 2.58\)
Con la definición de logaritmo:
\(x+1=\log_2 3\)
\(x=-1+\log_2 3\approx 2.58\)
Observación:
Hemos tomado logaritmo decimal, pero podríamos haber tomado un logaritmo en cualquier otra base, como por ejemplo el logaritmo neperiano.
3) Cambio de variable
En ocasiones puede resultar útil el cambio de variable \(z=a^x\) para llegar a una ecuación más sencilla. Posteriormente, hay que deshacer el cambio.
Ejemplo: \(2^{2x}+2^x=72\)
\((2^x)^2+2^x=72\)
Haciendo el cambio de variable \(z=2^x\) obtenemos:
\(z^2+z=72\)
\(z^2+z-72=0\)
\(z=\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot(-72)}}2=\frac{-1\pm \sqrt{289}} 2=\begin{array}{l} \nearrow \\ \searrow \end{array}\) \(\begin{array}{l} \displaystyle \frac{-1+17}2=8 \\ \displaystyle \frac{-1-17}2= -9 \end{array}\)
Deshaciendo el cambio:
\(z=8 \Longrightarrow 2^x=8=2^3 \Longrightarrow x=3\)
\(z=-9 \Longrightarrow 2^x=-9\hspace{2em} \) No tiene solución